Równania w liczbach naturalnych

[Dejupitala12]

Wykazać, że nie istnieją takie liczby naturalne \(\displaystyle{ a,b,c}\) , że \(\displaystyle{ a+b+c=56}\) oraz \(\displaystyle{ a^2+b^2+c^2=1364}\)
Zastanawiam się czy da się to zrobic w miarę ładnie bez rozpatrywania 40 przypadków etc.

[bosa_Nike]

Ponieważ \(\displaystyle{ 56\equiv 2\pmod 3}\) oraz \(\displaystyle{ 1364\equiv 2\pmod 3}\), więc mamy z dokładnością do permutacji układ reszt \(\displaystyle{ (1,1,0)}\).
Jednakże wówczas \(\displaystyle{ ab+bc+ca=\frac{1}{2}\cdot\left((a+b+c)^2-\left(a^2+b^2+c^2\right)\right)=886}\) daje sprzeczność, bo strony nie przystają modulo trzy.

[PoweredDragon]

\(\displaystyle{ a+b+c \equiv a^2+b^2+c^2 \pmod 3 \Rightarrow ab+ac+bc \equiv 0 \pmod 3}\)
Ale \(\displaystyle{ ab+ac+bc = \frac{(a+b+c)^2-a^2-b^2-c^2}{2}= 886 \neq 0 \pmod 3}\) - sprzeczność

[Dejupitala12]

\(\displaystyle{ a+b+c \equiv a^2+b^2+c^2 \pmod 3 \Rightarrow ab+ac+bc \equiv 0 \pmod 3}\)

Skąd wynika ta implikacja ?

[Premislav]

Mniej więcej znikąd, bo jest niepoprawna, sprawdź dla \(\displaystyle{ a=1,b=1, c=0}\)
Rozwiązanie użytkowniczki bosa_Nike też jest niepoprawne, ponieważ \(\displaystyle{ 886\equiv 1\pmod{3}}\), więc akurat strony przystają modulo \(\displaystyle{ 3}\) i nie ma żadnej sprzeczności.

[Dejupitala12]

Coś mi tutaj właśnie nie pasowało Wobec tego nadal czekam na jakieś podpowiedzi
ozwiązanie

[Hydra147]

Suma kwadratów jest podzielna przez 4, więc wszystkie liczby są parzyste. Suma kwadratów ich połówek to 341, a suma 28. Jednak to niemożliwe, bo suma kwadratów jest tej samej parzystości, co suma.

[bosa_Nike]

Piszę trochę zza węgła, więc może ktoś sprawdzi modulo cztery. Myślę, że tym razem powinno wyjść.

[Hydra147]

Można też równoważnie powiedzieć, że ten układ równań nie ma rozwiązań modulo 8 tzn. nie istnieją takie trzy liczby, że ich suma daje resztę zero, a suma kwadratów resztę 4 z dzielenia przez 8.

[Dejupitala12]

Dzięki Hydra147