Wyznaczyć wszystkie takie \(\displaystyle{ n}\) że \(\displaystyle{ {2n \choose 2k}}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ { n \choose k}}\) dla \(\displaystyle{ k= 1,...,n-1}\)
\(\displaystyle{ \frac{ {2n \choose 4} }{ {n \choose 2} }= \frac{(2n-1)(2n-3)}{3}}\)
Aby to wyrażenie miało szanse być całkowitym to \(\displaystyle{ n \neq 3m+1}\). Wyklucza to liczbę 4 (i oczywiście kolejne (7,10,13,16,...) które tu ignoruję) z możliwych rozwiązań.
\(\displaystyle{ \frac{ {2n \choose 6} }{ {n \choose 3} }= \frac{(2n-1)(2n-3)(2n-5)}{3 \cdot 5}}\)
Aby to wyrażenie miało szanse być całkowitym to \(\displaystyle{ n \neq 5m+1 \wedge n \neq 5m+2}\). Wyklucza to liczby 6,7 z możliwych rozwiązań.
\(\displaystyle{ \frac{ {2n \choose 8} }{ {n \choose 4} }= \frac{(2n-1)(2n-3)(2n-5)(2n-7)}{3 \cdot 5 \cdot 7}}\)
Aby to wyrażenie miało szanse być całkowitym to \(\displaystyle{ n \neq 7m+1 \wedge n \neq 7m+2 \wedge n \neq 7m+3}\). Wyklucza to liczby 8,9,10 z możliwych rozwiązań.
\(\displaystyle{ \frac{ {2n \choose 10} }{ {n \choose 5} }=\frac{(2n-1)(2n-3)(2n-5)(2n-7)(2n-9)}{3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 9}}\)
Aby to wyrażenie miało szanse być całkowitym to \(\displaystyle{ n \neq 9m+1 \wedge n \neq 9m+2 \wedge n \neq 9m+3 \wedge n \neq 9m+4}\). Wyklucza liczby 10,11,12,13 z możliwych rozwiązań.
\(\displaystyle{ \frac{ {2n \choose 12} }{ {n \choose 6} }=\frac{(2n-1)(2n-3)(2n-5)(2n-7)(2n-9)(2n-11)}{3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 9 \cdot 11}}\)
Aby to wyrażenie miało szanse być całkowitym to \(\displaystyle{ n \neq 11m+1 \wedge n \neq 11m+2 \wedge n \neq 11m+3 \wedge n \neq 11m+4 \wedge n \neq 11m+5}\). Wyklucza liczby 12,13,14,15,16 z możliwych rozwiązań.
Ponieważ ilość wykluczonych liczb zwiększa się wraz z kolejnym ilorazem to żadna z liczb naturalnych i większych od pięciu nie spełnia warunków zadania.
