Zbiór dzielników ciągu

[Matiks21]

Hej,

przyszedł mi do głowy pewien problem, byłbym wdzięczny za wskazanie drogi którą mógłbym podążyć żeby ten problem rozwiązać.

Problem:
Udowodnić że
\(\displaystyle{ \forall k \in NN( \exists n \in N(k| 2^{n} - 1 ))}\), gdzie NN to zbior liczb naturalnych nieparzystych


Ogólniej:
Udowodnić że
\(\displaystyle{ \forall a \in NP( \forall k \in NN( \exists n \in N(k| a^{n} - 1 )))}\), gdzie NN to zbior liczb naturalnych nieparzystych, a NP to zbiór liczb naturalnych parzystych

[Premislav]

To nie jest w ogólności prawda, weź choćby \(\displaystyle{ k=2}\), a ogólniej \(\displaystyle{ k=a}\).
Jest to natomiast prawdą gdy \(\displaystyle{ \NWD(a,k)=1}\) i wynika to wprost z twierdzenia Eulera.

[Matiks21]

proszę o czytanie ze zrozumieniem, k jest nieparzyste, a jest parzyste
Ale dziękuje za rozwiązanie przypadku a = 2

ok, w zasadzie to rozwiązuje już całą resztę,
dziękuję i pozdrawiam

[Premislav]

Przepraszam bardzo, pospieszyłem się i nie doczytałem "nieparzystych", przez co mój rzekomy "kontrprzykład" do przypadku \(\displaystyle{ a=2}\) był bzdurą (jak i możliwość wzięcia \(\displaystyle{ a=k}\) - jedno wszak ma być parzyste, zaś drugie nieparzyste).
Ale cała reszta tego, co napisałem, jest jak najbardziej prawdą, jeśli \(\displaystyle{ \NWD(a,k)=d>1}\), to
\(\displaystyle{ a^n-1\equiv -1\pmod{d}}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ n \in \NN^+}\), co wyklucza \(\displaystyle{ d|a^n-1}\), więc tym bardziej mamy \(\displaystyle{ k\nmid a^n-1}\)
To tak tylko dopisuję na użytek innych użytkowników.