Podzielność przez 13

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
Palazzi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1
Rejestracja: 23 cze 2017, o 17:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 1 raz

Podzielność przez 13

Post autor: Palazzi »

Witam, potrzebuje pomocy z uzasadnieniem, że liczba \(\displaystyle{ 2 ^{50}+3 ^{50}}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 13}\).
Ostatnio zmieniony 23 cze 2017, o 17:46 przez Kaf, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Całe wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach [latex] [/latex].
Kaf
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 826
Rejestracja: 8 wrz 2013, o 11:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 187 razy

Re: Podzielność przez 13

Post autor: Kaf »

Skorzystaj z Małego Twierdzenia Fermata.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Podzielność przez 13

Post autor: Premislav »

Można też zauważyć, że \(\displaystyle{ 3^3 \equiv 1\pmod{13}}\) oraz \(\displaystyle{ 2^6\equiv -1\pmod{13}}\), czyli \(\displaystyle{ 2^{12}\equiv 1\pmod{13}}\), zaś
\(\displaystyle{ 2 ^{50}+3 ^{50}=2^2\cdot (2^{12})^4+3^2\cdot(3^3)^{16}}\)
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Re: Podzielność przez 13

Post autor: kerajs »

\(\displaystyle{ 3^{50}+2^{50}=9^{25}+4^{25}=(13-4)^{25}+4^{25}=13 \cdot N-4^{25}+4^{25}=13N}\)
gdzie
\(\displaystyle{ 13 \cdot N= \sum_{i=0}^{24} {25 \choose i}(-1)^i13^{25-i}4^{i}}\)
ODPOWIEDZ