Równanie modulo

[kinia7]

Czy liczba \(\displaystyle{ 65}\) jest rozwiązaniem równania \(\displaystyle{ 6x\equiv 12\pmod{21}\ ?}\)

[Premislav]

Tak.-- 18 cze 2017, o 11:48 --PS A może jednak nie... Być może źle mnie nauczono, a być może to zależy od konwencji.

Kod: Zaznacz cały

http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/mon/mon19/mon1903.pdf

przynajmniej stosuje się taką konwencję, według której to nie jest rozwiązaniem.
Przepraszam za zamieszanie i dziękuję userowi janusz47 za zwrócenie na tę kwestię uwagi.

[janusz47]

Patrz też na przykład:

Władysław Narkiewicz. Teoria Liczb. Rozdział I strona 37. PWN Warszawa 1977.

Thomas Koshy. Elementary Number Theory with Applications. Ch.4.4. pp.229-232. Ed. HAP 2002.

[kinia7]

Czyli poniższe jest do d...?

... i mamy, że \(\displaystyle{ x \equiv 2\pmod{13}}\), tj. \(\displaystyle{ x=13k+2, k \in \ZZ}\)

jeśli tak to wynikałoby z tego, że \(\displaystyle{ x \equiv 2\pmod{m}\ \ \Rightarrow \ \ x=2}\)

to czemu służy w takim razie zapis \(\displaystyle{ x \equiv 2\pmod{m}\ ?}\)

[Jan Kraszewski]

Ponieważ nie mam Narkiewicza pod ręką, więc może ktoś mi wyjaśni, dlaczego nie?

JK

[bosa_Nike]

Wydaje mi się, że nieporozumienie wynika stąd, że Sierpiński pisze, że kongruencja liniowa \(\displaystyle{ ax\equiv b\pmod p}\), gdzie \(\displaystyle{ {\color{gray}\left(a{\not |}p\right)}}\) \(\displaystyle{ p{\not |}a}\), ma dokładnie jeden pierwiastek, co oczywiście jest prawdą, bo elementy tej samej klasy reszt są przecież przystające.

EDIT: Czeszczyzna.

[Pakro]

Skoro \(\displaystyle{ 65 \equiv 2 \pmod{ 21}}\), to \(\displaystyle{ 6 \cdot 65 \equiv 6 \cdot 2 \pmod{21} \equiv 12 \pmod{21}}\). Zwykłe działania w \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_{21}}\) .

[kinia7]

Ale to oznacza, że jest tylko jedna klasa reszt, a nie tylko jeden pierwiastek.

[bosa_Nike]

Ale cały czas myślimy modulo siedem - dla nas dwa, dziewięć, szesnaście itd. to ta sama liczba. Wierzę, że o to chodziło Sierpińskiemu.

[kinia7]

„Równanie \(\displaystyle{ x \equiv 1 \pmod{3}}\) jest trywialne. Jego rozwiązanie to \(\displaystyle{ x = 3t + 1}\)” a nie \(\displaystyle{ x=1}\).

Cytat pochodzi z artykułu „Arytmetyka modularna”

Kod: Zaznacz cały

http://informatyka.wroc.pl/node/442?page=0,3

[Jan Kraszewski]

Skoro \(\displaystyle{ 65 \equiv 2 \pmod{ 21}}\), to \(\displaystyle{ 6 \cdot 65 \equiv 6 \cdot 2 \pmod{21} \equiv 12 \pmod{21}}\). Zwykłe działania w \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_{21}}\) .

To akurat jest nieprawda, to nie są działania w \(\displaystyle{ \ZZ_{21}}\) z tego prostego powodu, że \(\displaystyle{ 65\notin \ZZ_{21}}\). To są działania w \(\displaystyle{ \ZZ}\).

JK