Widziałem masę dowodów na niewymierność różnych dziwactw typu \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) czy \(\displaystyle{ 1+\sqrt{5}}\). Nigdy jednak nie widziałem dowodu opartego o tw. o pierwiastkach wymiernych wielomianu; czy jest on w jakiś sposób niepoprawny?
Teza: \(\displaystyle{ \sqrt{2} \notin \mathbb Q}\)
D-d: Zauważmy, że \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) jest pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ W(x) = x^2 - 2}\). Z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych wynika jednak, iż ów wielomian takowych pierwiastków nie ma. Mamy sprzeczność, c. k. d.
Więc ogólnie dla l. algebraicznej niewymiernej \(\displaystyle{ a}\) znajdujemy wielomian o współczynnikach całkowitych i na luzie dowodzimy niewymierności. Jest w moim rozumowaniu, gdziekolwiek, błąd?
Niewymierność liczb
-
PoweredDragon
- Użytkownik
- Posty: 817
- Rejestracja: 19 lis 2016, o 23:48
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 21
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 115 razy
-
Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4065
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1392 razy