Czy G jest grupą.

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
0Mniac
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 114
Rejestracja: 7 cze 2015, o 18:22
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 73 razy
Pomógł: 1 raz

Czy G jest grupą.

Post autor: 0Mniac »

Witam. Mam do sprawdzenia czy \(\displaystyle{ G}\) jest grupą:

\(\displaystyle{ G=\left\{ e \in R,a \neq 1\right\},a \cdot b=ab-a-b+2}\)

Sprawdzam łączność:

\(\displaystyle{ (a \cdot b) \cdot c=(a \cdot b)c-(a \cdot b)-c+2=c(ab-a-b+2)-(ab-a-b+2)-c+2=abc-ac-ab+2c-ab+a+b-2-c+2=abc-ac-2ab+c+a+b}\)

\(\displaystyle{ a \cdot (b \cdot c)=a(b \cdot c)-a-(b \cdot c)+2=a(bc-b-c+2)-a-(bc-b-c+2)+2=abc-ab-ac+2a-a-bc+b+c-2+2=abc-ab-ac+a-bc+b+c}\)

Więc mógłbym już tutaj zakończyć sprawdzanie, bo wyniki są różne, więc \(\displaystyle{ G}\) nie jest grupą.
Jednak z ciekawości sprawdzam kolejny warunek- element neutralny:

\(\displaystyle{ a \cdot e=ae-a-e+2}\)
\(\displaystyle{ ae-e=a-2}\)
\(\displaystyle{ e(a-1)=(a-2)}\)
\(\displaystyle{ e= \frac{a-2}{a-1}}\)

I nie za bardzo wiem co wynika z ostatniego równania. Jakie wychodzi \(\displaystyle{ e}\)?
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22174
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Czy G jest grupą.

Post autor: a4karo »

\(\displaystyle{ (a \cdot b) \cdot c=(a \cdot b)c-(a \cdot b)-c+2=c(ab-a-b+2)-(ab-a-b+2)-c+2=abc-ac-{\red ab}+2c-ab+a+b-2-c+2=abc-ac-2ab+c+a+b}\)

A to: \(\displaystyle{ G=\left\{ e \in R,a \neq 1\right\}}\) nie za bardzo ma sens

W elemencie neutralnym masz sprawdzić, czy dla jakiegoś \(\displaystyle{ e4}\) i dowolnego \(\displaystyle{ a}\) zachodzi \(\displaystyle{ a\cdot e=a}\), więc równanie do rozwiązania jest inne.
0Mniac
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 114
Rejestracja: 7 cze 2015, o 18:22
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 73 razy
Pomógł: 1 raz

Re: Czy G jest grupą.

Post autor: 0Mniac »

Dzięki za zwrócenie uwagi na błąd. Ten warunek nie jest podany przeze mnie, ale przez twórcę zadania. Obliczenie elementu \(\displaystyle{ e}\) wynikło z wzorowania się na innym przykładzie, ale widać zbłądziłem

Zgodnie z podanym przez Ciebie warunkiem:

\(\displaystyle{ a \cdot e=a}\)
\(\displaystyle{ ae-a-e+2=a}\)
\(\displaystyle{ ae-e=2a+2}\)
\(\displaystyle{ e(a-1)=2a+2}\)
\(\displaystyle{ e= \frac{2a+2}{a-1}}\)

I znowu zacinka niestety.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22174
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Czy G jest grupą.

Post autor: a4karo »

Trzecia linijka...
0Mniac
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 114
Rejestracja: 7 cze 2015, o 18:22
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 73 razy
Pomógł: 1 raz

Re: Czy G jest grupą.

Post autor: 0Mniac »

Chyba zmęczony jestem...
Powinno być więc:
\(\displaystyle{ e= \frac{2a-2}{a-1}}\)
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5703
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 129 razy
Pomógł: 524 razy

Re: Czy G jest grupą.

Post autor: arek1357 »

\(\displaystyle{ e=2}\)
Awatar użytkownika
Cytryn
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 405
Rejestracja: 17 wrz 2016, o 17:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 46 razy

Re: Czy G jest grupą.

Post autor: Cytryn »

Wskazówka: \(\displaystyle{ ab-a-b+2= (a-1)(b-1) + 1}\), więc wygląda na to, że \(\displaystyle{ G}\) jest obrazem (tak to się nazywa?) grupy \(\displaystyle{ (\mathbb R^*, \cdot)}\) przez funkcję \(\displaystyle{ f(x) = x + 1}\), z działaniem

\(\displaystyle{ a * b = f(f^{-1}(a) \cdot f^{-1}(b))}\).

Zmieniłem po drodze oznaczenia.
0Mniac
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 114
Rejestracja: 7 cze 2015, o 18:22
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 73 razy
Pomógł: 1 raz

Re: Czy G jest grupą.

Post autor: 0Mniac »

Wszystko mam, teraz zmagam się z elementem odwrotnym. Wychodzi:

\(\displaystyle{ a \cdot a^{-1} = e}\)
\(\displaystyle{ aa^{-1}-a-a^{-1}+2=2}\)
\(\displaystyle{ aa^{-1}-a^{-1}=2+a-2}\)
\(\displaystyle{ a^{-1}(a-1)=a}\)
\(\displaystyle{ a^{-1}= \frac{a}{a-1}}\)

I za bardzo nie wiem co z tego wynika.
Benny01
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1116
Rejestracja: 11 wrz 2015, o 19:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Górnicza Dolina
Podziękował: 74 razy
Pomógł: 115 razy

Re: Czy G jest grupą.

Post autor: Benny01 »

Z tego wynika, że element odwrotny do danego elementu \(\displaystyle{ a}\) jest równy \(\displaystyle{ \frac{a}{a-1}}\).
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22174
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Czy G jest grupą.

Post autor: a4karo »

Tyle, że elementem odwrotnym do \(\displaystyle{ a}\) jest \(\displaystyle{ a/(a-1)}\). Należy do zbioru? Jeśli tak, to już koniec.


No i nie sprawdziłes do kończ łączności: wskazałem na błąd, ale nie pofatygowałeś sie sprawdzić jakie sa konsekwencje.
0Mniac
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 114
Rejestracja: 7 cze 2015, o 18:22
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 73 razy
Pomógł: 1 raz

Re: Czy G jest grupą.

Post autor: 0Mniac »

Zwróciłem uwagę i rozpisałem sobie na kartce, już odpuszczę sobie przepisywanie tego w LaTeXie. Dziękuję za pomoc.
ODPOWIEDZ