Pary liczb spełniające układ warunków

[Peter_85]

Oto treść zadania: znajdź wszystkie pary liczb całkowitych dodatnich \(\displaystyle{ (a,b)}\) jeżeli wiadomo, że dokładnie 3 z 4 poniższych stwierdzeń są prawdziwe:

1) \(\displaystyle{ b\vert (a+1)}\)
2) \(\displaystyle{ a\neq 2b+5}\)
3) \(\displaystyle{ 3\vert (a+b)}\)
4) \(\displaystyle{ a+7b}\) jest liczbą pierwszą

Moje próby rozwiązania skończyły się jedynie na dwóch trywialnych obserwacjach:

- stwierdzenie 2) nie może być fałszywe: gdyby było, to mielibyśmy \(\displaystyle{ a=2b+5}\), w związku z czym \(\displaystyle{ a+b=3b+5}\). Liczba \(\displaystyle{ 3b+5}\) nie jest podzielna przez \(\displaystyle{ 3}\), co oznacza, że stwierdzenie 3) jest również fałszywe, a więc mamy więcej niż 1 stwierdzenie fałszywe, co jest niezgodne z warunkami zadania

- jeśli stwierdzenie 3) jest prawdziwe, to stwierdzenie 4) jest fałszywe, bo mamy wtedy \(\displaystyle{ a+7b=(a+b)+6b}\) - liczba ta jest podzielna przez \(\displaystyle{ 3}\) i większa od \(\displaystyle{ 3}\), więc nie jest liczbą pierwszą.

Niestety powyższe niespecjalnie przybliżyło mnie do ostatecznego rozwiązania. Jak pociągnąć to rozumowanie dalej?

[kerajs]

Coś jest nie tak z tym zadaniem, bo niezależnie od tego które ze zdań 3),4) jest fałszywe, to tylko dla \(\displaystyle{ b=1}\) dostaje się już nieskończenie wiele rozwiązań.

[Peter_85]

Faktycznie - zacząłem od szukania ogólnych zależności zamiast sprawdzić warunki dla kilku przypadków szczególnych. Rzeczywiście rozwiązań jest nieskończenie wiele, pozostaje pytanie czy da się je w jakiś sensowny sposób scharakteryzować (pewnie nie). Jeśli chodzi o samo zadanie - zacytowałem jego treść tak, jak ktoś mi ją kiedyś przekazał. Nie mogę wykluczyć, że jest w niej jakiś błąd, który sprawia, że dalsze rozważania nad tym problemem tracą sens.