Liczba Pi

[PoweredDragon]

Witam; przeszukałem cały dostępny mi internet, jednak nie mam dostępu do porządnej literatury. Czy zna ktoś lub czy w ogóle istnieje jakaś reprezentacja liczby \(\displaystyle{ \pi}\), w postaci granicy, gdzie to wykładnik dąży do jakiejś liczby?
\(\displaystyle{ \pi = \lim_{n \to \infty } x^n}\), gdzie \(\displaystyle{ x}\) to jakieś tam wyrażenie wewnątrz (też może być zależne od \(\displaystyle{ n}\) :V).

[szw1710]

Najprościej wziąć \(\displaystyle{ x_n=\frac{\pi}{e}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}\). Ale zapewne nie o to chodzi. Liczbę \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}}\) możemy też przybliżać szeregiem potęgowym - rozwinięcie arcus tangensa ( ... for_%CF%80).

Stałe \(\displaystyle{ x}\) nie wchodzi w grę, bo dla \(\displaystyle{ x>1}\) mamy \(\displaystyle{ x^n\to\infty}\), a dla \(\displaystyle{ 0<x<1}\) mamy \(\displaystyle{ x^n\to 0}\).

Trochę nie na Twój temat, ale ciekawy jest też wzór Wallisa.

[PoweredDragon]

szw1710
Oczywiście stałego x nie miałem na myśli (choć to "może być zależne od n" mogło świadczyć o mojej niewiedzy). Jest to dla mnie wręcz oczywiste :V
Dalej jednak nie ma żadnego wzoru z wykładnikiem ;/

Dlaczego u góry widnieje Liczba Pi - zadanie 5? :O

[yorgin]

\(\displaystyle{ \pi = \lim_{n \to \infty } x^n}\), gdzie x to jakieś tam wyrażenie wewnątrz (też może być zależne od n :V).

\(\displaystyle{ \pi=\lim\limits_{n\to+\infty}\left(1+\frac{\ln \pi}{n}\right)^n}\).

Nie da się zapisać \(\displaystyle{ \pi}\) jako podobnej granicy z \(\displaystyle{ x}\) niezależnym od \(\displaystyle{ n}\).

Dlaczego u góry widnieje Liczba Pi - zadanie 5? :O

Dlatego, że jest to piąty temat o tym samym pierwotnym tytule: Liczba Pi. Automat dodaje numerację.

[a4karo]

\(\displaystyle{ \pi = \lim_{n \to \infty } x^n}\), gdzie x to jakieś tam wyrażenie wewnątrz (też może być zależne od n :V).

\(\displaystyle{ \pi=\lim\limits_{n\to+\infty}\left(1+\frac{\ln \pi}{n}\right)^n}\).

Nie da się zapisać \(\displaystyle{ \pi}\) jako podobnej granicy z \(\displaystyle{ x}\) niezależnym od \(\displaystyle{ n}\).

Dlaczego u góry widnieje Liczba Pi - zadanie 5? :O

Dlatego, że jest to piąty temat o tym samym pierwotnym tytule: Liczba Pi. Automat dodaje numerację.

Wzorek jest fajny , tyle że jak ma definiować \(\displaystyle{ \pi}\), to najpierw trzeba to \(\displaystyle{ \pi}\) znać. No chyba, że najwyższy zesłał nam jego logarytm

[Cytryn]

\(\displaystyle{ x = \lim_{n \to \infty} \left(\sqrt[n]{\sum_{k=0}^n \frac{3 \sqrt{3} \cdot k!^2}{2 \cdot (2k+1)!}}\right)^n}\)

[yorgin]

Cytryn, to badzo nudne obejście sprawy. Bo prawdą jest, że

\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{3}}{9}\pi=\frac{1}{2}\sum\limits_{i=0}^{\infty} \frac{(i!)^2}{(2i+1)!},}\)
(),

więc wystarczy wstawić dowolny szereg zamiast powyższego.


a4karo, nic takiego w pierwszym poście nie było wymagane

[Cytryn]

To może

\(\displaystyle{ 3, 2, \frac{19}{13}, \frac{667}{501}, \frac{44}{35}, \frac{593}{490}, \frac{179}{152}, \frac{112087}{97143}, \frac{10985}{9673}, \frac{6897537}{6151472}\ldots}\)