Liczba Pi
-
- Użytkownik
- Posty: 817
- Rejestracja: 19 lis 2016, o 23:48
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 21
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 115 razy
Liczba Pi
Witam; przeszukałem cały dostępny mi internet, jednak nie mam dostępu do porządnej literatury. Czy zna ktoś lub czy w ogóle istnieje jakaś reprezentacja liczby \(\displaystyle{ \pi}\), w postaci granicy, gdzie to wykładnik dąży do jakiejś liczby?
\(\displaystyle{ \pi = \lim_{n \to \infty } x^n}\), gdzie \(\displaystyle{ x}\) to jakieś tam wyrażenie wewnątrz (też może być zależne od \(\displaystyle{ n}\) :V).
\(\displaystyle{ \pi = \lim_{n \to \infty } x^n}\), gdzie \(\displaystyle{ x}\) to jakieś tam wyrażenie wewnątrz (też może być zależne od \(\displaystyle{ n}\) :V).
Ostatnio zmieniony 9 cze 2017, o 17:23 przez yorgin, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Stosuj LaTeX również do pojedynczych symboli.
Powód: Stosuj LaTeX również do pojedynczych symboli.
Liczba Pi
Najprościej wziąć \(\displaystyle{ x_n=\frac{\pi}{e}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}\). Ale zapewne nie o to chodzi. Liczbę \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}}\) możemy też przybliżać szeregiem potęgowym - rozwinięcie arcus tangensa ( ... for_%CF%80).
Stałe \(\displaystyle{ x}\) nie wchodzi w grę, bo dla \(\displaystyle{ x>1}\) mamy \(\displaystyle{ x^n\to\infty}\), a dla \(\displaystyle{ 0<x<1}\) mamy \(\displaystyle{ x^n\to 0}\).
Trochę nie na Twój temat, ale ciekawy jest też wzór Wallisa.
Stałe \(\displaystyle{ x}\) nie wchodzi w grę, bo dla \(\displaystyle{ x>1}\) mamy \(\displaystyle{ x^n\to\infty}\), a dla \(\displaystyle{ 0<x<1}\) mamy \(\displaystyle{ x^n\to 0}\).
Trochę nie na Twój temat, ale ciekawy jest też wzór Wallisa.
-
- Użytkownik
- Posty: 817
- Rejestracja: 19 lis 2016, o 23:48
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 21
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 115 razy
Liczba Pi
szw1710
Oczywiście stałego x nie miałem na myśli (choć to "może być zależne od n" mogło świadczyć o mojej niewiedzy). Jest to dla mnie wręcz oczywiste :V
Dalej jednak nie ma żadnego wzoru z wykładnikiem ;/
Dlaczego u góry widnieje Liczba Pi - zadanie 5? :O
Oczywiście stałego x nie miałem na myśli (choć to "może być zależne od n" mogło świadczyć o mojej niewiedzy). Jest to dla mnie wręcz oczywiste :V
Dalej jednak nie ma żadnego wzoru z wykładnikiem ;/
Dlaczego u góry widnieje Liczba Pi - zadanie 5? :O
- yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
Liczba Pi
\(\displaystyle{ \pi=\lim\limits_{n\to+\infty}\left(1+\frac{\ln \pi}{n}\right)^n}\).PoweredDragon pisze: \(\displaystyle{ \pi = \lim_{n \to \infty } x^n}\), gdzie x to jakieś tam wyrażenie wewnątrz (też może być zależne od n :V).
Nie da się zapisać \(\displaystyle{ \pi}\) jako podobnej granicy z \(\displaystyle{ x}\) niezależnym od \(\displaystyle{ n}\).
Dlatego, że jest to piąty temat o tym samym pierwotnym tytule: Liczba Pi. Automat dodaje numerację.PoweredDragon pisze: Dlaczego u góry widnieje Liczba Pi - zadanie 5? :O
-
- Użytkownik
- Posty: 22210
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Liczba Pi
yorgin pisze:\(\displaystyle{ \pi=\lim\limits_{n\to+\infty}\left(1+\frac{\ln \pi}{n}\right)^n}\).PoweredDragon pisze: \(\displaystyle{ \pi = \lim_{n \to \infty } x^n}\), gdzie x to jakieś tam wyrażenie wewnątrz (też może być zależne od n :V).
Nie da się zapisać \(\displaystyle{ \pi}\) jako podobnej granicy z \(\displaystyle{ x}\) niezależnym od \(\displaystyle{ n}\).
Dlatego, że jest to piąty temat o tym samym pierwotnym tytule: Liczba Pi. Automat dodaje numerację.PoweredDragon pisze: Dlaczego u góry widnieje Liczba Pi - zadanie 5? :O
Wzorek jest fajny , tyle że jak ma definiować \(\displaystyle{ \pi}\), to najpierw trzeba to \(\displaystyle{ \pi}\) znać. No chyba, że najwyższy zesłał nam jego logarytm
- yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
Re: Liczba Pi
Cytryn, to badzo nudne obejście sprawy. Bo prawdą jest, że
\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{3}}{9}\pi=\frac{1}{2}\sum\limits_{i=0}^{\infty} \frac{(i!)^2}{(2i+1)!},}\)
(),
więc wystarczy wstawić dowolny szereg zamiast powyższego.
a4karo, nic takiego w pierwszym poście nie było wymagane
\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{3}}{9}\pi=\frac{1}{2}\sum\limits_{i=0}^{\infty} \frac{(i!)^2}{(2i+1)!},}\)
(),
więc wystarczy wstawić dowolny szereg zamiast powyższego.
a4karo, nic takiego w pierwszym poście nie było wymagane
- Cytryn
- Użytkownik
- Posty: 405
- Rejestracja: 17 wrz 2016, o 17:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 46 razy
Re: Liczba Pi
To może
\(\displaystyle{ 3, 2, \frac{19}{13}, \frac{667}{501}, \frac{44}{35}, \frac{593}{490}, \frac{179}{152}, \frac{112087}{97143}, \frac{10985}{9673}, \frac{6897537}{6151472}\ldots}\)
\(\displaystyle{ 3, 2, \frac{19}{13}, \frac{667}{501}, \frac{44}{35}, \frac{593}{490}, \frac{179}{152}, \frac{112087}{97143}, \frac{10985}{9673}, \frac{6897537}{6151472}\ldots}\)