Cześć!
W jaki sposób pokazać, że gęstość asymptotyczna zbioru \(\displaystyle{ \bigcup_{k\leq K}(b_k\mathbb{Z}+r_k)}\) istnieje? Tutaj \(\displaystyle{ k\geq 1, K\geq 1}\), liczby \(\displaystyle{ b_k\in\mathbb{N}}\) oraz \(\displaystyle{ r_k\in\mathbb{Z}/b_k\mathbb{Z}}\), czyli \(\displaystyle{ r_k}\), to reszty z dzielenia przez \(\displaystyle{ b_k}\), a więc \(\displaystyle{ \bigcup_{k\leq K}(b_k\mathbb{Z}+r_k)}\) jest skończoną sumą ciągów arytmetycznych. I teraz, aby pokazać, że gęstość asymptotyczna (naturalna) istnieje, muszę uzasadnić, że gęstość dolna i górna są sobie równe, czyli \(\displaystyle{ \underline{d}\bigl(\bigcup_{k\leq K}(b_k\mathbb{Z}+r_k)\bigr)=\overline{d}\bigl(\bigcup_{k\leq K}(b_k\mathbb{Z}+r_k)\bigr)=d\bigl(\bigcup_{k\leq K}(b_k\mathbb{Z}+r_k)\bigr)}\). Jednak nie wiem w jaki sposób wyliczyć tę dolną i górną gęstość, czyli de facto odpowiednią granicę dolną i górną.
Z góry dziękuję za pomoc.
Gęstość sumy ciągów arytmetycznych.
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10211
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2359 razy
Re: Gęstość sumy ciągów arytmetycznych.
Niech
\(\displaystyle{ A = \bigcup_{k \le K} ( b_k \ZZ + r_k ).}\)
Zauważ, że jeśli \(\displaystyle{ b = \mathrm{NWW} \{ b_k : k \le K \},}\) to
\(\displaystyle{ (\forall n, m \in \NN) \big[ n \equiv m \pmod{b} \Rightarrow ( n \in A \Leftrightarrow m \in A ) \big].}\)
Innymi słowy, funkcja charakterystyczna zbioru \(\displaystyle{ A}\)
\(\displaystyle{ \chi_A(n) = \begin{cases} 1 & \text{gdy } n \in A \\ 0 & \text{gdy } n \notin A \end{cases}}\)
jest okresowa z okresem \(\displaystyle{ b,}\) czyli zbiór \(\displaystyle{ A}\) wygląda tak samo na każdym przedziale \(\displaystyle{ [n cdot b, (n+1) cdot b).}\) Stąd
\(\displaystyle{ $ egin{align*}
|A cap [0, nb+r)| & = |A cap [0, b)| + |A cap [b, 2b)| + ldots + |A cap [(n-1)b, nb)| + |A cap [nb, nb+r)| \
& = n cdot |A cap [0, b)| + |A cap [0, r)|,
end{align*} $}\)
toteż
\(\displaystyle{ frac{n}{n+1} cdot frac{|A cap [0, b)|}{b} le frac{|A cap [0, nb+r)|}{nb+r} le frac{n+1}{n} cdot frac{|A cap [0, b)|}{b}}\)
czyli
\(\displaystyle{ d(A) = lim_{m o infty} frac{|A cap [0, m)|}{m} = frac{|A cap [0, b)|}{b}.}\)
\(\displaystyle{ A = \bigcup_{k \le K} ( b_k \ZZ + r_k ).}\)
Zauważ, że jeśli \(\displaystyle{ b = \mathrm{NWW} \{ b_k : k \le K \},}\) to
\(\displaystyle{ (\forall n, m \in \NN) \big[ n \equiv m \pmod{b} \Rightarrow ( n \in A \Leftrightarrow m \in A ) \big].}\)
Innymi słowy, funkcja charakterystyczna zbioru \(\displaystyle{ A}\)
\(\displaystyle{ \chi_A(n) = \begin{cases} 1 & \text{gdy } n \in A \\ 0 & \text{gdy } n \notin A \end{cases}}\)
jest okresowa z okresem \(\displaystyle{ b,}\) czyli zbiór \(\displaystyle{ A}\) wygląda tak samo na każdym przedziale \(\displaystyle{ [n cdot b, (n+1) cdot b).}\) Stąd
\(\displaystyle{ $ egin{align*}
|A cap [0, nb+r)| & = |A cap [0, b)| + |A cap [b, 2b)| + ldots + |A cap [(n-1)b, nb)| + |A cap [nb, nb+r)| \
& = n cdot |A cap [0, b)| + |A cap [0, r)|,
end{align*} $}\)
toteż
\(\displaystyle{ frac{n}{n+1} cdot frac{|A cap [0, b)|}{b} le frac{|A cap [0, nb+r)|}{nb+r} le frac{n+1}{n} cdot frac{|A cap [0, b)|}{b}}\)
czyli
\(\displaystyle{ d(A) = lim_{m o infty} frac{|A cap [0, m)|}{m} = frac{|A cap [0, b)|}{b}.}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 73
- Rejestracja: 8 cze 2014, o 16:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Trzebcz
- Podziękował: 17 razy
Gęstość sumy ciągów arytmetycznych.
W miejscu gdzie korzysta się z tej gęstości, jest napisane, że
\(\displaystyle{ d\bigl(\bigcup_{k\leq K}(b_k\mathbb{Z}+r_k)\bigr)=\frac{1}{n\cdot b_1\cdot\ldots\cdot b_K}|[1,n\cdot b_1\cdot\ldots\cdot b_K]\cap\bigl(\bigcup_{k\leq K}(b_k\mathbb{Z}+r_k)\bigr)|}\)
zachodzi dla dowolnego \(\displaystyle{ n\in\mathbb{N}}\).
Ale chyba z tego co napisałeś już ta równość wynika, prawda?
Wiemy, że \(\displaystyle{ b|b_1\cdot\ldots\cdot b_K}\), zatem chyba możemy sobie ten przedział "wydłużyć" i równocześnie odpowiednio zwiększyć mianownik, tzn. zamiast
\(\displaystyle{ \frac{|A\cap[1,b]|}{b}}\)
napisać
\(\displaystyle{ \frac{|A\cap[1,n\cdot b_1\cdot\ldots\cdot b_K]|}{n\cdot b_1\cdot\ldots\cdot b_K}}\) ?
Poza tym, jak pewnie zauważyłeś, te zbiory z którymi kroję nasz zbiór \(\displaystyle{ A}\) są obustronnie domknięte, a u Ciebie prawostronnie otwarte, tzn. \(\displaystyle{ [0,b)}\), ale ja rozważam \(\displaystyle{ \mathbb{N}}\) od \(\displaystyle{ 1}\). Zatem chyba \(\displaystyle{ |A\cap[0,b)|=|A\cap[1,b]|}\)?
\(\displaystyle{ d\bigl(\bigcup_{k\leq K}(b_k\mathbb{Z}+r_k)\bigr)=\frac{1}{n\cdot b_1\cdot\ldots\cdot b_K}|[1,n\cdot b_1\cdot\ldots\cdot b_K]\cap\bigl(\bigcup_{k\leq K}(b_k\mathbb{Z}+r_k)\bigr)|}\)
zachodzi dla dowolnego \(\displaystyle{ n\in\mathbb{N}}\).
Ale chyba z tego co napisałeś już ta równość wynika, prawda?
Wiemy, że \(\displaystyle{ b|b_1\cdot\ldots\cdot b_K}\), zatem chyba możemy sobie ten przedział "wydłużyć" i równocześnie odpowiednio zwiększyć mianownik, tzn. zamiast
\(\displaystyle{ \frac{|A\cap[1,b]|}{b}}\)
napisać
\(\displaystyle{ \frac{|A\cap[1,n\cdot b_1\cdot\ldots\cdot b_K]|}{n\cdot b_1\cdot\ldots\cdot b_K}}\) ?
Poza tym, jak pewnie zauważyłeś, te zbiory z którymi kroję nasz zbiór \(\displaystyle{ A}\) są obustronnie domknięte, a u Ciebie prawostronnie otwarte, tzn. \(\displaystyle{ [0,b)}\), ale ja rozważam \(\displaystyle{ \mathbb{N}}\) od \(\displaystyle{ 1}\). Zatem chyba \(\displaystyle{ |A\cap[0,b)|=|A\cap[1,b]|}\)?
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10211
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2359 razy
Gęstość sumy ciągów arytmetycznych.
Tak.Waszok pisze:Ale chyba z tego co napisałeś już ta równość wynika, prawda?
Tak.Waszok pisze:Poza tym, jak pewnie zauważyłeś, te zbiory z którymi kroję nasz zbiór \(\displaystyle{ A}\) są obustronnie domknięte, a u Ciebie prawostronnie otwarte, tzn. \(\displaystyle{ [0,b)}\), ale ja rozważam \(\displaystyle{ \mathbb{N}}\) od \(\displaystyle{ 1}\). Zatem chyba \(\displaystyle{ |A\cap[0,b)|=|A\cap[1,b]|}\)?