podzielnosc i kwadrat liczby

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
alfred0
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 276
Rejestracja: 7 cze 2014, o 20:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa
Podziękował: 38 razy

podzielnosc i kwadrat liczby

Post autor: alfred0 »

Niech \(\displaystyle{ a,b}\) naturalne oraz \(\displaystyle{ a^2+b^2-a}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ 2ab}\). Pokaz ze \(\displaystyle{ a}\) jest kwadratem liczby.
Ostatnio zmieniony 6 maja 2017, o 18:41 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Używaj LaTeXa także do pojedynczych symboli.
Awatar użytkownika
JakimPL
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2401
Rejestracja: 25 mar 2010, o 12:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 43 razy
Pomógł: 459 razy

Re: podzielnosc i kwadrat liczby

Post autor: JakimPL »

Mam nadzieję, że niczego nie pomieszałem.

Przyjmijmy, że \(\displaystyle{ a>1}\) (w przeciwnym razie teza jest spełniona). Przypuśćmy wbrew tezie, że istnieje taki dzielnik pierwszy \(\displaystyle{ p}\), który dzieli \(\displaystyle{ a}\), ale \(\displaystyle{ p^2}\) nie dzieli \(\displaystyle{ a}\).

Jeżeli \(\displaystyle{ p>2}\), to mamy następujące podzielności:

\(\displaystyle{ p|a}\), \(\displaystyle{ p|a^2}\), \(\displaystyle{ p|(a^2+b^2-a)}\), a zatem i \(\displaystyle{ p|b^2}\), czyli \(\displaystyle{ p|b}\).

Zatem \(\displaystyle{ p^2|ab}\), a więc i \(\displaystyle{ p^2|(a^2+b^2-a)}\), czyli \(\displaystyle{ p^2|a}\) wbrew założeniu; sprzeczność.

Jeżeli \(\displaystyle{ p=2}\), to jeżeli \(\displaystyle{ 2|b}\), mamy sytuację jak wyżej. Załóżmy zatem, że \(\displaystyle{ b}\) jest nieparzyste. Wówczas \(\displaystyle{ p}\) dzieli \(\displaystyle{ a^2+b^2-a}\), które jest nieparzyste, co daje kolejną sprzeczność.
PoweredDragon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 817
Rejestracja: 19 lis 2016, o 23:48
Płeć: Mężczyzna
wiek: 21
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 115 razy

Re: podzielnosc i kwadrat liczby

Post autor: PoweredDragon »

Załóżmy zatem, że b jest nieparzyste. Wówczas p dzieli \(\displaystyle{ a^2+b^2-a}\), które jest nieparzyste, co daje kolejną sprzeczność.
\(\displaystyle{ a^2+b^2-a}\) z założenia jest parzyste. Można to sobie darować, bo od razu widać, że b jest parzyste (trzeba tylko o tym wspomnieć, że skoro \(\displaystyle{ 2|(a^2+b^2-a)}\), to \(\displaystyle{ 2|b}\)
Ostatnio zmieniony 8 maja 2017, o 02:35 przez PoweredDragon, łącznie zmieniany 1 raz.
Zahion
Moderator
Moderator
Posty: 2095
Rejestracja: 9 gru 2012, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa, mazowieckie
Podziękował: 139 razy
Pomógł: 504 razy

Re: podzielnosc i kwadrat liczby

Post autor: Zahion »

Mamy, że \(\displaystyle{ b|a^{2} - a = a\left( a - 1\right)}\). Oczywiście obie liczby są względnie pierwsze.
1. Niech \(\displaystyle{ b | a}\), wtedy \(\displaystyle{ a = bk}\) dla pewnego naturalnego \(\displaystyle{ k}\). Mamy, że \(\displaystyle{ 2ab | a^{2} - a + b^{2} = b^{2}k^{2} + b^{2} - bk}\) czyli \(\displaystyle{ 2bk | bk^{2} + b - k}\). Stąd oczywiście \(\displaystyle{ b | k}\). Niech \(\displaystyle{ k = bm}\) dla naturalnego \(\displaystyle{ m}\). Wtedy \(\displaystyle{ 2b^{2}m | b^{3}m^{2} + b - bm}\) jeśli \(\displaystyle{ 2bm | b^{2}m^{2} - m + 1}\), a to może mieć miejsce tylko wtedy gdy \(\displaystyle{ m | 1}\), więc \(\displaystyle{ m = 1}\) i \(\displaystyle{ a = bk = b^{2}m = b^{2}}\).
2. Gdy \(\displaystyle{ b | a - 1}\) to \(\displaystyle{ a - 1 = bl}\) dla naturalnego \(\displaystyle{ l}\). Z drugiej strony \(\displaystyle{ a | b^{2}}\), czyli \(\displaystyle{ bl + 1 | b^{2}}\). Załóżmy, że liczby \(\displaystyle{ bl + 1}\) i \(\displaystyle{ b^{2}}\) mają wspólny dzielnik \(\displaystyle{ p}\) będacy liczbą pierwszą, ( tutaj zrobiłem za długi wywód ), stąd \(\displaystyle{ p | b ^{2}}\) więc \(\displaystyle{ p | b}\), a z pierwszej podzielności mamy \(\displaystyle{ p | 1}\) co daje sprzeczność.

O ile rozwiązanie jest poprawne to można wyznaczyć ogólne rozwiązanie, tj. \(\displaystyle{ b = 2m}\) i \(\displaystyle{ a = 4m^{2}}\).
Awatar użytkownika
kropka+
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4389
Rejestracja: 16 wrz 2010, o 14:54
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 787 razy

Re: podzielnosc i kwadrat liczby

Post autor: kropka+ »

\(\displaystyle{ b = 2m \wedge \left(a=1 \vee a = 4m^{2}\right )}\)
ODPOWIEDZ