Wykaż, że suma wszystkich tych liczb jest podzielna przez 7.

[invincibility]

Danych jest trzynaście takich liczb naturalnych, że suma każdych czterech spośród nich jest podzielna przez 7. Wykaż, że suma wszystkich tych liczb jest podzielna przez 7.

[Zahion]

O ile nigdzie się nie pomyliłem, to rozpatrzmy sumę :
\(\displaystyle{ 7 | \left( x_{1} + ... + x_{12}\right) + \left( x_{2} + ... + x_{13} \right) + ... + \left( x_{13} + ... + x_{11}\right)}\). Każdy z Naszych nawiasów posiada \(\displaystyle{ 12}\) liczb, skąd skoro dowolne \(\displaystyle{ 4}\) są podzielne przez \(\displaystyle{ 7}\), to każda suma w nawiasie też ma tą własność, jako suma \(\displaystyle{ 3}\) liczb podzielnych przez \(\displaystyle{ 7}\). Mamy \(\displaystyle{ 13}\) nawiasów, w każdym brak jest jednej z liczb \(\displaystyle{ x_{i}}\) dla \(\displaystyle{ 1 \le i \le 13}\) skąd ta suma wynosi \(\displaystyle{ 12\left( x_{1} + ... + x_{13} \right)}\). Jako, że \(\displaystyle{ (7,12) = 1}\) to \(\displaystyle{ 7 | x_{1} + ... + x_{13}}\)

[dec1]

418739.htm

[invincibility]

Dzięki wielkie:)