Suma trzech kwadratów

[WolfusA]

Czy istnieją takie trzy liczby całkowite dodatnie (pewne dwie z nich są różne), że suma kwadratów tych liczb jest podwojonym kwadratem pewnej liczby całkowitej dodatniej?

[kerajs]

\(\displaystyle{ a^{2}+a^{2}+b^{2}=2c^{2}}\)
\(\displaystyle{ b^{2}=2(c-a)(c+a)}\)
Niech:
\(\displaystyle{ \begin{cases} b=2(c-a) \\ b=c+a \end{cases} \Rightarrow \left( c=3a \wedge b=4a\right)}\)

[WolfusA]

A czy da się te trzy liczby tak dobrać, by jeszcze suma kwadratów dwóch najmniejszych była większa od kwadratu trzeciej liczby?

[kerajs]

Intuicja sugeruje mi że powinna istnieć taka czwórka że:
\(\displaystyle{ a^2+b^2+c^2=2d^2 \wedge a<b<c \wedge a^2+b^2>c^2}\)
choć na szybko nie umiem jej wskazać. Pomyślę i odpowiem tu i na PW.

PS
Z trójek pitagorejskich łatwo mieć inną grupę rozwiązań:
\(\displaystyle{ a^2+b^2+c^2=2c^2}\) ale tu \(\displaystyle{ a^2+b^2=c^2}\)



EDIT
Nie szukałem grupy, ale choć jeden spełniający wymagania przykład.
\(\displaystyle{ 11^2+19^2+20^2=2 \cdot 21^2}\)

[WolfusA]

Wpadłem na coś takiego:
\(\displaystyle{ 2(x+1)^2=2x^2+4x+2=(x^2-2x+1)+x^2+(6x+1)=(x-1)^2+x^2+(6x+1)}\)
więc wystarczy znaleźć \(\displaystyle{ x\in Z_{+}}\) takie, że istnieje \(\displaystyle{ k \in Z_{+}}\), spełniające równanie \(\displaystyle{ k^2=6x+1}\), a stąd łatwo wywnioskować, że \(\displaystyle{ k=6y+1}\) dla pewnego \(\displaystyle{ y \in Z\backslash Z_{-}}\), więc \(\displaystyle{ x=6y^2+2y}\), stąd \(\displaystyle{ y \neq 0}\), więc \(\displaystyle{ y \in Z_{+}}\)