Suma trzech kwadratów
- WolfusA
- Użytkownik
- Posty: 208
- Rejestracja: 27 sty 2017, o 19:43
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 9 razy
Suma trzech kwadratów
Czy istnieją takie trzy liczby całkowite dodatnie (pewne dwie z nich są różne), że suma kwadratów tych liczb jest podwojonym kwadratem pewnej liczby całkowitej dodatniej?
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8585
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3351 razy
Suma trzech kwadratów
\(\displaystyle{ a^{2}+a^{2}+b^{2}=2c^{2}}\)
\(\displaystyle{ b^{2}=2(c-a)(c+a)}\)
Niech:
\(\displaystyle{ \begin{cases} b=2(c-a) \\ b=c+a \end{cases} \Rightarrow \left( c=3a \wedge b=4a\right)}\)
\(\displaystyle{ b^{2}=2(c-a)(c+a)}\)
Niech:
\(\displaystyle{ \begin{cases} b=2(c-a) \\ b=c+a \end{cases} \Rightarrow \left( c=3a \wedge b=4a\right)}\)
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8585
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3351 razy
Suma trzech kwadratów
Intuicja sugeruje mi że powinna istnieć taka czwórka że:
\(\displaystyle{ a^2+b^2+c^2=2d^2 \wedge a<b<c \wedge a^2+b^2>c^2}\)
choć na szybko nie umiem jej wskazać. Pomyślę i odpowiem tu i na PW.
PS
Z trójek pitagorejskich łatwo mieć inną grupę rozwiązań:
\(\displaystyle{ a^2+b^2+c^2=2c^2}\) ale tu \(\displaystyle{ a^2+b^2=c^2}\)
EDIT
Nie szukałem grupy, ale choć jeden spełniający wymagania przykład.
\(\displaystyle{ 11^2+19^2+20^2=2 \cdot 21^2}\)
\(\displaystyle{ a^2+b^2+c^2=2d^2 \wedge a<b<c \wedge a^2+b^2>c^2}\)
choć na szybko nie umiem jej wskazać. Pomyślę i odpowiem tu i na PW.
PS
Z trójek pitagorejskich łatwo mieć inną grupę rozwiązań:
\(\displaystyle{ a^2+b^2+c^2=2c^2}\) ale tu \(\displaystyle{ a^2+b^2=c^2}\)
EDIT
Nie szukałem grupy, ale choć jeden spełniający wymagania przykład.
\(\displaystyle{ 11^2+19^2+20^2=2 \cdot 21^2}\)
Ostatnio zmieniony 1 maja 2017, o 17:47 przez kerajs, łącznie zmieniany 1 raz.
- WolfusA
- Użytkownik
- Posty: 208
- Rejestracja: 27 sty 2017, o 19:43
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 9 razy
Suma trzech kwadratów
Wpadłem na coś takiego:
\(\displaystyle{ 2(x+1)^2=2x^2+4x+2=(x^2-2x+1)+x^2+(6x+1)=(x-1)^2+x^2+(6x+1)}\)
więc wystarczy znaleźć \(\displaystyle{ x\in Z_{+}}\) takie, że istnieje \(\displaystyle{ k \in Z_{+}}\), spełniające równanie \(\displaystyle{ k^2=6x+1}\), a stąd łatwo wywnioskować, że \(\displaystyle{ k=6y+1}\) dla pewnego \(\displaystyle{ y \in Z\backslash Z_{-}}\), więc \(\displaystyle{ x=6y^2+2y}\), stąd \(\displaystyle{ y \neq 0}\), więc \(\displaystyle{ y \in Z_{+}}\)
\(\displaystyle{ 2(x+1)^2=2x^2+4x+2=(x^2-2x+1)+x^2+(6x+1)=(x-1)^2+x^2+(6x+1)}\)
więc wystarczy znaleźć \(\displaystyle{ x\in Z_{+}}\) takie, że istnieje \(\displaystyle{ k \in Z_{+}}\), spełniające równanie \(\displaystyle{ k^2=6x+1}\), a stąd łatwo wywnioskować, że \(\displaystyle{ k=6y+1}\) dla pewnego \(\displaystyle{ y \in Z\backslash Z_{-}}\), więc \(\displaystyle{ x=6y^2+2y}\), stąd \(\displaystyle{ y \neq 0}\), więc \(\displaystyle{ y \in Z_{+}}\)