rozwiązanie kongruencji, kilka ważnych pytań

[degel123]

Hej. Mam do rozwiązania taką kongruencję:

\(\displaystyle{ 12x=48pmod{18}}\)

I rozwiazuje to tak:
\(\displaystyle{ 12x=12pmod{18} Leftrightarrow egin{cases} 12x=12pmod{2}mbox{ to zawsze spełnione} \ 12x=12pmod{9} end{cases}}\)

Teraz \(\displaystyle{ 12x=12pmod{9} Leftrightarrow 3x=3pmod{9}}\)

I teraz nie wiem jak to rozwiązac. Zrobilem tak (i odpowiedz chyba dobra) ze z tego ostatniego rownania wyliczylem ze \(\displaystyle{ 3x=9 cdot k+3}\) i to podzielilem przez \(\displaystyle{ 3}\) (bo wyjatkowo kazda liczba jest podzielna przez \(\displaystyle{ 3}\)). Wyszlo \(\displaystyle{ x=3 cdot k+1}\).

Ale wczesniej jak mam \(\displaystyle{ 3x=3pmod{9}}\) to nie moge podzielic przez \(\displaystyle{ 3}\) bo \(\displaystyle{ NWD(3,9)}\) jest różnie od \(\displaystyle{ 1}\) tak? Jak wy byscie to zadanie rozwiazali i czy moge kogos prosic zeby mi napisal jakie przejscia sa dozwolone i pod jakimi warunkami w przypadku kongruencji? Bede wdzieczny

Chyba ze istnieje taka wlasnosc ze wszystko (wraz z modulem kongruencji) mozna podzielic przez jakas liczbe? Np. \(\displaystyle{ 2x=4pmod{8} Leftrightarrow x=2pmod{4}}\)? Tak jak to zrobil uzytkownik Qń w tym temacie 260309.htm

[PoweredDragon]

Jeśli masz kongruencję

\(\displaystyle{ ax \equiv b \pmod c}\), wówczas możesz podzielić przez \(\displaystyle{ NWD(a, b, c)}\) ale każdą z liczb a, b, c

więc
\(\displaystyle{ 3x \equiv 3 \pmod 9}\)
\(\displaystyle{ x \equiv 1 \pmod 3}\)

Ogółem polecam:

Kod: Zaznacz cały

http://www.ftj.agh.edu.pl/~lenda/number_theory/A31.pdf

Te własności się przydają, np. od początku robiłbym to tak:
\(\displaystyle{ 12x \equiv 48\pmod{18} \slash \colon 6}\)
\(\displaystyle{ 2x \equiv 8 \pmod{3}\slash \colon 2}\)
\(\displaystyle{ x \equiv 4 \pmod{3}}\)
\(\displaystyle{ x \equiv 1 \pmod{3}}\)

[degel123]

Dzięki wielkie wszystko jasne -- 17 kwi 2017, o 13:22 --Mam jedna watpliwosc jeszcze. jESLI MAM kongruencje

ax=b(mod n) to moge pomnozyc obie strony kongruencji przez dowolna liczbe? Czy ta liczba musi byc wzglednie pierwsza z modulem n? W podanej prezentacji nie ma wzmianki o wzglednej pierwszosci