Liczba całkowita jako suma kwadratów

[MrCommando]

Proszę o pomoc z następującym zadaniem, nie mam zbytnio pomysłu, żeby to ruszyć:

Udowodnić, że każdą liczbę całkowitą dodatnią można przedstawić jako sumę pewnej liczby kwadratów kolejnych liczb całkowitych dodatnich, począwszy od 1, każda wzięta z odpowiednim znakiem, tzn. że każda liczba całkowita dodatnia \(\displaystyle{ n}\) jest postaci:

\(\displaystyle{ n=\sum_{j=1}^{m} (-1)^{k_j}j^2=(-1)^{k_1}1^2+(-1)^{k_2}2^2+...+(-1)^{k_m}m^2}\).

PS. Oczywiście \(\displaystyle{ m}\) jest liczbą całkowitą dodatnią, a \(\displaystyle{ k_1,k_2,...,k_m}\) są liczbami ze zbioru \(\displaystyle{ \left\{ 0,1\right\}}\).

[Premislav]

\(\displaystyle{ 1^{\circ}\)} Łatwo jest napisać
\(\displaystyle{ 1=1^2}\) oraz \(\displaystyle{ 2=-1^2-2^2-3^2+4^2}\).
Samodzielnie masz wymyślić rozkłady dla \(\displaystyle{ n=3}\)oraz \(\displaystyle{ n=4}\) (po pierwsze chciałbym, żebyś coś sam zrobił, a po drugie to dziubdzianie, nie chce mi się).
\(\displaystyle{ 2^{\circ}}\) Załóżmy, że \(\displaystyle{ n=\sum_{j=1}^{m}(-1)^{k_j}j^2}\), gdzie \(\displaystyle{ k_j \in \left\{0,1\right\}}\).
Można zaobserwować, że \(\displaystyle{ (m+1)^2-(m+2)^2-(m+3)^2+(m+4)^2=4}\), więc
\(\displaystyle{ n+4=\sum_{j=1}^{m+4}(-1)^{k_j}j^2}\), gdzie
\(\displaystyle{ k_{m+1}=k_{m+4}=0, k_{m+2}=k_{m+3}=1}\). pozostałe \(\displaystyle{ k_j}\) jak w rozkładzie \(\displaystyle{ n}\).
To kończy drugi krok indukcyjny (pod warunkiem, że sprawdzisz dla trójki i czwórki).

[MrCommando]

Rozkłady dla \(\displaystyle{ 3}\) i \(\displaystyle{ 4}\) będą następujące:

\(\displaystyle{ 3=-1^2+2^2+3^2+4^2-5^2 \\
4=1^2-2^2-3^2+4^2}\)

Z początku też chciałem skorzystać z indukcji, ale widać, że szedłem najwyraźniej błędną drogą. Nie spotkałem się do tej pory z takim sposobem jej użycia (poczytałem teraz trochę i bodajże chodzi o wzmocnienie indukcji). Zazwyczaj w przypadku dowodów indukcyjnych robiłem klasycznie - pokazujemy tezę dla konkretnej liczby naturalnej, potem zakładamy, że zachodzi dla pewnego naturalnego \(\displaystyle{ k}\) i wykazujemy, ze zachodzi także dla \(\displaystyle{ k+1}\). Tak czy inaczej, dziękuję za pomoc, jeszcze trochę o tym na pewno poczytam.