Twierdzenie dotyczące Liczb Pierwszych (dowód)

[Galczi]

Witam
(Narkiewicz, "Teoria liczb", wydanie trzecie zmienione, Warszawa 2003, strona 199)
Mam problem z dowodem twierdzenia (6.3) o sicie Eratostenesa.

Twierdzenie:
Niech \(\displaystyle{ u=u(x)}\) będzie funkcją o dodatnich wartościach, spełniającą dla dostatecznie dużych \(\displaystyle{ x}\) warunek:
\(\displaystyle{ 2^{\pi(u(x))}\log (u(x)) = O(x)}\)
i niech \(\displaystyle{ N_u(x)}\) będzie ilością liczb \(\displaystyle{ n\leq x}\), nie mających dzielników pierwszych mniejszych od \(\displaystyle{ u(x)}\). Wówczas:
\(\displaystyle{ N_u(x) = O\left(\frac{x}{\log (u(x))}\right)}\)

Dowód:
Przyjmijmy: \(\displaystyle{ \Pi}\) - zbiór wszystkich liczb pierwszych z przedziału \(\displaystyle{ [2, u(x) ]}\), a za \(\displaystyle{ A}\) zbiór liczb naturalnych z przedziału \(\displaystyle{ [2,x]}\). Wtedy \(\displaystyle{ \#\Pi = \pi(u(x)), D}\)-iloczyn wszystkich liczb pierwszych \(\displaystyle{ p_1\cdot p_2 \cdot\ldots\cdot p_n, S=N_u(x), S_d=[x/d]}\), gdzie \(\displaystyle{ S}\)- ilość elementów zbioru \(\displaystyle{ A}\) nie dzielących się przez żadną z liczb pierwszych \(\displaystyle{ p_i}\), a przez \(\displaystyle{ S_d}\) liczbę elementów zbioru \(\displaystyle{ A}\) podzielnych przez liczbę \(\displaystyle{ d}\).

Mam problem z zrozumieniem dowodu u Narkiewicza.
Skąd się pojawia \(\displaystyle{ O\left( 2^{\pi(u(x))}\right)}\) i czemu pod koniec znika?

Pozdrawiam bardzo serdecznie i proszę o pomoc.