Znajdź rozwiązania w liczbach całkowitych

[Ogorek00]

\(\displaystyle{ 2 n^{2} = (m+1)m}\)

[Premislav]

Zauważ, że liczby \(\displaystyle{ m}\) i \(\displaystyle{ m+1}\) są względnie pierwsze.
To jest wskazówka, a nie pełne rozwiązanie.

[dec1]

Obustronne pomnożenie przez \(\displaystyle{ 4}\) daje \(\displaystyle{ 8n^2=4m^2+4m=(2m+1)^2-1}\), a więc jest to równanie Pella \(\displaystyle{ (2m+1)^2-8n^2=1}\), które ma nieskończenie wiele rozwiązań.

[PoweredDragon]

Stosujemy podstawienie
\(\displaystyle{ k = 2n}\)
\(\displaystyle{ t = 2m+1}\)
wówczas:

\(\displaystyle{ t^2-2k^2=1}\)

Wystarczy znaleźć jedno rozwiązanie różne od \(\displaystyle{ (0, 1)}\) i kolejne rozwiązania generujesz jak w typowym równaniu Pella ;v

[kerajs]

Poniżej fragment z 417289.htm#p5474966 dotyczący Twojego równania :

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ 2m^2=l(l+1)\
m^2= frac{l(l+1)}{2}}\)
Kwadrat ma być liczbą trójkątną. Euler wykazał że wzór na takie trójkątne to:
\(\displaystyle{ m^2= frac{1}{32}left[ left(3+2 sqrt{2}
ight)^n- left(3-2 sqrt{2}
ight)^n
ight]^2}\)
\(\displaystyle{ m in left{ 0, pm 1, pm 6, pm 35, pm 204, pm 1189,....
ight}}\)