Kilka zadań na przekształcanie wyrażeń
: 16 wrz 2007, o 13:15
1. Wiadomo, że \(\displaystyle{ x+\frac{1}{x}=3}\). Oblicz \(\displaystyle{ x^{4}+\frac{1}{x^{4}}}\).
2. Wiadomo, że \(\displaystyle{ x-\frac{1}{x}=2}\). Oblicz \(\displaystyle{ x^{3}+\frac{1}{x^{3}}}\).
3. Wiadomo, że \(\displaystyle{ \frac{a+2b}{a-2b}=7}\). Oblicz \(\displaystyle{ \frac{a+3b}{a-3b}}\).
4. Wiadomo, że \(\displaystyle{ a+b+c=0}\). Wykaż, że \(\displaystyle{ a^{4}+b^{4}+c^{4}=2(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})}\).
5. Wykaż, że dla dodatnich a,b,c zachodzi \(\displaystyle{ (a+b)(b+c)(c+a) qslant 8abc}\).
6. Wykaż, że dla dodatnich a,b,c zachodzi \(\displaystyle{ \frac{a^{2}}{b} +\frac{b^{2}}{a} qslant a +b}\).
7. Znajdź najmniejszą wartość wyrażenia \(\displaystyle{ a^{2} + b^{2}}\) jeżeli \(\displaystyle{ a+b=4}\).
Z góry dziękuje za jakąkolwiek pomoc
2. Wiadomo, że \(\displaystyle{ x-\frac{1}{x}=2}\). Oblicz \(\displaystyle{ x^{3}+\frac{1}{x^{3}}}\).
3. Wiadomo, że \(\displaystyle{ \frac{a+2b}{a-2b}=7}\). Oblicz \(\displaystyle{ \frac{a+3b}{a-3b}}\).
4. Wiadomo, że \(\displaystyle{ a+b+c=0}\). Wykaż, że \(\displaystyle{ a^{4}+b^{4}+c^{4}=2(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})}\).
5. Wykaż, że dla dodatnich a,b,c zachodzi \(\displaystyle{ (a+b)(b+c)(c+a) qslant 8abc}\).
6. Wykaż, że dla dodatnich a,b,c zachodzi \(\displaystyle{ \frac{a^{2}}{b} +\frac{b^{2}}{a} qslant a +b}\).
7. Znajdź najmniejszą wartość wyrażenia \(\displaystyle{ a^{2} + b^{2}}\) jeżeli \(\displaystyle{ a+b=4}\).
Z góry dziękuje za jakąkolwiek pomoc