Równania diofantyczne

[tdave]

Dzień dobry, mam problem z równianiami diofantycznymi. Teoretycznie mam ten algorytm jak te zadanka robić, ale prawie zawsze zacinam się przed wyznaczeniem 'szczególnych' rozwiązań
Byłbym bardzo wdzięczny jakby ktoś zobaczył co robię nie tak.
Nie za bardzo rozumiem głównie wyznaczania co ma być \(\displaystyle{ x_{0}}\) i \(\displaystyle{ y_{0}}\). Czy jest może na to jakiś sposób czy to się na 'czuja' robi?

1. Rozwiąż w liczbach całkowitych równanie:

\(\displaystyle{ 21x+108y=2

1) Wyznaczam NWD(21,108)}\)

\(\displaystyle{ 108=5 \cdot 21+3

5=3\cdot1+2

3=2\cdot1+1

2=1\cdot2=0}\)

\(\displaystyle{ 2)}\)
\(\displaystyle{ 1=3-2\cdot1=3-5+3\cdot1=2\cdot3-5=2\cdot(108-5\cdot21)-5=2\cdot108-5\cdot42-5=2\cdot108-5\cdot43}\)

\(\displaystyle{ 3)}\)
\(\displaystyle{ 1=2 \cdot 108-5\cdot43 / \cdot 2

2 = 4\cdot108-10\cdot43}\)
więc
\(\displaystyle{ x_{0} = 4}\) i \(\displaystyle{ y_{0} = -10}\)

Do tego momentu zazwyczaj wszystko mi się zgadza, ale teraz gdy chcę podstawić
\(\displaystyle{ x_{0}}\) i \(\displaystyle{ y_{0}}\) do równania to mi wychodzi:
\(\displaystyle{ 21 \cdot 4 + 108 \cdot (-10) = -996}\) i trochę daleko temu wynikowi jest do liczby 2.


2. Rozwiaz w liczbach naturalnych równania
\(\displaystyle{ 12x+29y=1050

1) Wyznaczam NWD(12,29)}\)

\(\displaystyle{ 29=12 \cdot 2+5

12=5 \cdot 2+2

5=2 \cdot 2+1

2=1 \cdot 2+0}\)

\(\displaystyle{ 2)

1=5-2 \cdot 2=5-2(12-5 \cdot 2)=5-2 \cdot 12+5 \cdot 4=5 \cdot 5-2 \cdot 12=5(29-12 \cdot 2)-2 \cdot 12=5 \cdot 29-60 \cdot 2-2 \cdot 12=5 \cdot 29-2 \cdot 72}\)

\(\displaystyle{ 1=5 \cdot 29-2 \cdot 72 / \cdot 1050

1050=5250 \cdot 29 - 2100 \cdot 72}\)
więc
\(\displaystyle{ x_{0} = 5250}\) i \(\displaystyle{ y_{0} = -2100}\) po podstawieniu do równania wychodzi \(\displaystyle{ 2100}\).
Tutaj też wychodzi zły wynik,dodatkowo \(\displaystyle{ y_{0}}\) jest ujemny co chyba jednak nie pasuje do polecenia.

[Premislav]

1. \(\displaystyle{ 21x+108y=2}\)
Lewa strona dzieli się przez \(\displaystyle{ 3}\) dla dowolnych \(\displaystyle{ x,y}\) całkowitych, a prawa nie. Zatem nie istnieje żadna para \(\displaystyle{ (x,y)}\) całkowitych, która spełniałaby to równanie (krótko: brak rozwiązań).

2. Coś tutaj chachmęcisz z tym 72, przecież w wyjściowym równaniu masz \(\displaystyle{ 12.}\) Obliczenia dobre, ale teraz by znaleźć \(\displaystyle{ y_0}\), zapisz \(\displaystyle{ 2100\cdot 72=(-2100\cdot 6) \cdot 12}\)
i za y_0 weź \(\displaystyle{ -2100 \cdot 6}\) (nie chce mi się liczyć, ile to jest), a nie to, co napisałeś.

A co do polecenia, to wygeneruj z tego rozwiązanie ogólne w całkowitych (umiesz to zrobić?), a potem odpowiednio ogranicz, wybierając spośród wszystkich takie rozwiązania (będzie ich skończenie wiele), że \(\displaystyle{ x>0}\) i \(\displaystyle{ y>0}\).

EDIT: sorry za pomylenie płci, tak to bywa, gdy odkładam obiad do ósmej wieczorem, już poprawiłem.

[tdave]

1. Faktycznie, źle NWD policzyłem i się posypało całe zadanko.

2. A więc to o to w tym chodzi Wstyd się przyznać, ale nie zauważyłem, że to trzeba zapisać w takiej formie, że liczby przy x i y oraz w tym moim końcowym równaniu muszą się tak jakby pokrywać.

Więc:
\(\displaystyle{ x_{0} = -12600}\), a \(\displaystyle{ y_{0} = 5250}\).

Rozwiązanie całkowite to będzie:
\(\displaystyle{ x=-12600-29t}\)

\(\displaystyle{ y=5250+12t}\)
\(\displaystyle{ t \in \mathbb{Z}}\)

\(\displaystyle{ x>0}\)

-12600 - 29t > 0

-29t >12600

t<\(\displaystyle{ \frac{-12600}{29}}\)

\(\displaystyle{ y>0}\)
5250+12t > 0

12t >-5250

t > \(\displaystyle{ \frac{-5250}{12}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} t>\frac{-5250}{12} \\ t<\frac{-12600}{29} \\ t \in \mathbb{Z} \end{cases} \Rightarrow t\in \left\{ -437,-436,-435\right\}}\)


Mam nadzieję, że nic nie pomyliłem.
Przepraszam za brak latexa w niektórych momentach.

Dziękuje bardzo za pomoc.