Największy wspólny dzielnik.

[pawlo392]

1.Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ n,m}\) to liczby całkowite względnie pierwsze oraz \(\displaystyle{ c \in \mathbb{N}_*}\) to \(\displaystyle{ NWD(mc,nc)=c}\).
Tutaj chyba wiem, ale nie mogę znaleźć wzoru na NWD, który uzwględnia rozkład na czynniki pierwsze.

2. Znaleźć trzy takie liczby, które są względnie pierwsze oraz każde dwie nie są względnie pierwsze.

Tutaj zwyczajnie nie mogę odgadnąć...

[Jan Kraszewski]

Ad 2. To proste, każde dwie mają wspólny dzielnik \(\displaystyle{ >1}\), ale nie ma wspólnego dzielnika \(\displaystyle{ >1}\) dla wszystkich trzech.

JK

[Premislav]

1. Wzorek wykombinowałem taki:
niech \(\displaystyle{ m= \prod_{i=1}^{ \infty }p_i^{\alpha_i}, n= \prod_{i=1}^{ \infty }p_i^{\beta_i}}\), gdzie \(\displaystyle{ (p_i)}\)to parami różne liczby pierwsze oraz \(\displaystyle{ \alpha_i, \beta_i \in \NN_0=\left\{ 0,1,2,\dots\right\}}\) (w praktyce w każdej takiej reprezentacji jest tylko skończenie wiele wykładników różnych od \(\displaystyle{ 0}\)). Wtedy
\(\displaystyle{ \NWD(m,n)= \prod_{i=1}^{ \infty }p_i^{\min(\alpha_i, \beta_i)}}\)
Ale nie jest on do niczego tutaj potrzebny (choć co kto lubi).

2. Powinna zadziałać np. trójka \(\displaystyle{ (2,3,6)}\).

[Bourder]

1. Skoro te liczby są względnie pierwsze, tj. \(\displaystyle{ NWD(m,n)=1}\) , to jeśli zostaną pomnożone przez pewną liczbę niezerową \(\displaystyle{ c}\) , to będą także przez nią podzielne. Dla \(\displaystyle{ c=1}\) wartość się nie zmieni, ale jest równa \(\displaystyle{ c}\) , czyli zgodnie z tezą. Dla \(\displaystyle{ c> 1}\) właśnie ta liczba jest największym dzielnikiem dla obu liczb.

[Chewbacca97]

Ponieważ \(\displaystyle{ m}\) i \(\displaystyle{ n}\) są względnie pierwsze, więc istnieją całkowite \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) takie, że \(\displaystyle{ 1=mx +ny}\). Mnożąc obie strony równania przez c otrzymujemy: \(\displaystyle{ c = mcx+ncy = (mc,nc)}\). A to właśnie chcieliśmy uzyskać.

[pawlo392]

Ale nie jest on do niczego tutaj potrzebny (choć co kto lubi).

Teraz formalnie pomnożę przez \(\displaystyle{ c}\) i koniec dowodu.

2. Powinna zadziałać np. trójka \(\displaystyle{ (2,3,6)}\).

.
Ale \(\displaystyle{ NWD(2,3)=1}\)
Więc są to liczby względnie pierwsze.

[Premislav]

A faktycznie, moja pomyłka z tym przykładem, przepraszam, wystarczy to zrobić tak, żeby każda dwójka dzieliła się jednocześnie przez inną liczbę pierwszą. Np. weźmy
\(\displaystyle{ 6,10,15}\).

[pawlo392]

Tak. Dziękuję.