Dowód dla wielomianu

[Rafsaf]

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej \(\displaystyle{ n}\), liczba \(\displaystyle{ \frac{1}{5}n ^{5}+ \frac{1}{3}n ^{3}+ \frac{7}{15}n}\) jest całkowita

Po elementarnych przekształceniach doszedłem do postaci

\(\displaystyle{ \frac{n(3n ^{4}+5n ^{2}+7) }{15}}\)

Myślałem, żeby rozpisać ten dwukwadratowy na iloczyn dwóch drugiego stopnia, ale do niczego nie doszedłem.

[Premislav]

Wystarczy, że uzasadnisz, iż dla każdego \(\displaystyle{ n}\) całkowitego
liczba \(\displaystyle{ n(3n^4+5n^2+7)}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 3}\) i przez \(\displaystyle{ 5}\), bo \(\displaystyle{ 3\cdot 5=15}\) i \(\displaystyle{ nwd(3,5)=1}\)
Pokażę podzielność przez \(\displaystyle{ 5}\), a Ty samodzielnie zrobisz podzielność przez \(\displaystyle{ 3}\), OK?
Zauważmy, że kwadrat liczby całkowitej daje resztę \(\displaystyle{ 0,1}\) lub \(\displaystyle{ 4}\) z dzielenia przez \(\displaystyle{ 5}\). Wynika to z rozpisania \(\displaystyle{ (5k+l)^2}\) ze wzoru dwumianowego Newtona lub z kongruencji (tak jest szybciej). Jeśli \(\displaystyle{ 5|n}\), to oczywiście
\(\displaystyle{ 5|n(3n^4+5n^2+7)}\). Jeżeli natomiast \(\displaystyle{ 5}\) nie dzieli \(\displaystyle{ n}\), to:
- \(\displaystyle{ n^2}\) daje resztę 1 lub 4 z dzielenia przez \(\displaystyle{ 5}\);
- \(\displaystyle{ n^4}\) daje resztę 1 z dzielenia przez \(\displaystyle{ 5}\).

Zatem \(\displaystyle{ 3n^4+5n+7 \equiv( 3\cdot 1+0+7)\pmod{5}}\), a ponieważ \(\displaystyle{ 5}\) dzieli\(\displaystyle{ 10}\), to także \(\displaystyle{ 5}\) dzieli \(\displaystyle{ 3n^4+5n+7}\)

[Rafsaf]

Chyba zwyczajnie brakuje mi wiedzy, żeby wiedzieć o co tu chodzi.

"ze wzoru dwumianowego Newtona lub z kongruencji (tak jest szybciej)"

Ale zostawię ten problem na właściwszy czas. Mógłbyś nakierować na jakąś literaturę czy internet, aby troszkę przyspieszyć powolny proces nauki i czasem dość trywialny poziom z rozszerzonej matematyki w szkole? Byłbym bardzo wdzięczny.

[Jan Kraszewski]

Wynika to z rozpisania \(\displaystyle{ (5k+l)^2}\) ze wzoru dwumianowego Newtona lub z kongruencji (tak jest szybciej).

I po co chłopaka straszysz?

Rafsaf, przecież to wzór skróconego mnożenia.

JK

[Premislav]

Jeśli nie uczestniczyłeś w OMG/OMJ, to polecam

Kod: Zaznacz cały

https://omj.edu.pl/

Jak nie znasz kongruencji, to ten fakt, o którym pisałem, można uzasadnić tak: każdą liczbę całkowitą można zapisać w postaci \(\displaystyle{ 5k+r}\), gdzie \(\displaystyle{ k \in \ZZ, r \in\left\{ 0,1,2,3,4\right\}}\).
\(\displaystyle{ (5k)^2=25k^2=5 \cdot 5k^2+0\\(5k+1)^2=25k^2+10k+1=5(5k^2+2k)+1\\(5k+2)^2=25k^2+20k+4=5(5k^2+4k)+4\\(5k+3)^3=25k^2+30k+9=5(5k^2+6k+1)+4\\(5k+4)^2=25k^2+40k+16=5(5k^2+8k+3)+1}\)

[Zahion]

Inaczej :
\(\displaystyle{ 15 | 3n^{5} +5n^{3} + 7n = 3(n^{5} - n) + 5n^{3} + 10n = 3(n^{5} - n) +5(n^{3} +2n) = 3(n^{5} - n) +5\left( \left( n^{3}-n\right)+3n \right)}\)
Mamy, że
\(\displaystyle{ 5 | n^{5} - n =n(n^{4} - 1)= n(n^{2}-1)(n^{2}+1)=n(n-1)(n+1)(n^{2} -4 + 5) =}\)
\(\displaystyle{ =n(n-1)(n+1)(n^{2}-4) +5n(n-1)(n+1) = (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) +5n(n-1)(n+1)}\)
Pierwsze wyrażenie dzieli się przez 5 jako iloczyn 5 kolejnych liczb naturalnych, stąd suma dwóch liczb podzielnych przez 5 ma tą samą własność.
Analogicznie liczba \(\displaystyle{ 3|n^{3} - n = (n-1)n(n+1)}\).
Skąd oczywiście całe wyrażenie dzieli się przez 15.

[dec1]

419184.htm

[Rafsaf]

Po opanowaniu w powiedzmy dopuszczającym stopniu kongruencji(definicji i podstawowych własności) doszedłem do wniosku, że zadanie, idąc tą drogą jest rzeczywiście proste.

\(\displaystyle{ \frac{n(3n ^{4}+5n ^{2}+7) }{15}}\)

Udowodnię podzielność przez \(\displaystyle{ 3}\) tak jak mi to zaproponował Premislav
Gdy \(\displaystyle{ n}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ \ 3}\) to nie ma co liczyć, zaś gdy nie jest, kwadrat przy dzieleniu przez \(\displaystyle{ 3}\) da resztę zawsze równą \(\displaystyle{ 1}\)

więc

\(\displaystyle{ n ^{4} \equiv 1 \pmod{3} \\
n ^{2}\equiv 1 \pmod{3} \\
7\equiv 1\pmod{3}\\}\)

Stąd
\(\displaystyle{ 3n ^{4}+5n ^{2}+7 \equiv (3 \cdot 1+5 \cdot 1+1)\pmod{3}=9\pmod{3}}\)
Skoro \(\displaystyle{ 9\equiv 0\pmod{3} \Rightarrow 3n ^{4}+5n ^{2}+7\equiv 0\pmod{3}}\)

[Premislav]

No i bardzo dobrze.