Nie rozumiem skąd i dlaczego bierzesz \(\displaystyle{ nwd(x,y) = 1}\).
Z definicji NWD - Największy Wspólny dzielnik.
Skoro bierzesz największy wspólny dzielnik dwóch liczb
\(\displaystyle{ a, b}\), niech to będzie
\(\displaystyle{ g}\) to
\(\displaystyle{ a = gx, b = gy}\) dla pewnych naturalnych
\(\displaystyle{ x,y}\). Gdyby
\(\displaystyle{ NWD(x, y) \neq 1}\) to istniałaby jakaś liczba
\(\displaystyle{ k}\) naturalna różna od
\(\displaystyle{ 1}\), że
\(\displaystyle{ k | x}\) i
\(\displaystyle{ k | y}\), ale wtedy
\(\displaystyle{ kg > k}\) i
\(\displaystyle{ kg | a , kg | b}\), a to jest sprzeczne, ponieważ
\(\displaystyle{ g}\) jest największym wspólnym dzielnikiem tych liczb.
\(\displaystyle{ g \vert a, g \vert b, g \vert (b-a)}\) oraz \(\displaystyle{ c \vert a, c \vert b,c c \vert (b-a)}\) z czego dalej wnioskuje, że \(\displaystyle{ c}\) oraz \(\displaystyle{ g}\) muszą być takie same. Czy w moim myśleniu są luki?
z tego, że
\(\displaystyle{ m | p, m | q}\) i
\(\displaystyle{ n | p, n | q}\) nie wynika, że
\(\displaystyle{ n = m}\) ( nie zawsze ). Przykład :
\(\displaystyle{ 4 | 8, 4 | 16, 8 | 8, 8 | 18}\), ale
\(\displaystyle{ 4 \neq 8}\)
Wezmy to co zapisałeś na starcie.
\(\displaystyle{ nwd(a, b) = g}\). Istnieją takie liczby względnie pierwsze
\(\displaystyle{ x, y}\), że
\(\displaystyle{ a = xg, b = yg}\). Dlaczego są względnie pierwsze ustaliliśmy na początku.
Wystarczy uzasadnić, że
\(\displaystyle{ nwd(a, b - a) = g}\), a przecież mamy, że
\(\displaystyle{ nwd(a, b - a) = nwd(xg, yg - xg) = g \cdot nwd(x, y - x)}\). Jeżeli uzasadnimy, że
\(\displaystyle{ nwd(x, y - x) = 1}\)to będziemy mieć, że
\(\displaystyle{ nwd(a, b - a) = nwd(xg, yg - xg) = g \cdot nwd(x, y - x) = g \cdot 1 = g}\) i skończy to dowód. W takim wypadku załóżmy, że liczby
\(\displaystyle{ x, y - x}\) mają jakiś dzielnik wspólny różny od
\(\displaystyle{ 1}\), niech to będzie
\(\displaystyle{ k}\). Wtedy
\(\displaystyle{ k | x + y - x = y}\), a stąd skoro
\(\displaystyle{ k | x}\) i
\(\displaystyle{ k | y}\) to jest to sprzeczne z tym, że
\(\displaystyle{ nwd(x, y) = 1}\) więc rzeczywiście liczby
\(\displaystyle{ x , y - x}\) nie mają wspólnego dzielnika, co dowodzi tego, że
\(\displaystyle{ nwd( x, y - x ) = 1}\) i kończy dowód.
