Elementy odwrotne, twierdzenie Eulera

[ama1623]

Witam, mam problem z następującym zadaniem:
Wyznaczyć elementy odwrotne do liczby \(\displaystyle{ k}\) w grupie \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_{n}^{*}}\)
a) \(\displaystyle{ k=2}\), \(\displaystyle{ n}\)-liczba pierwsza (zastosować tw. Eulera)
b) \(\displaystyle{ k=n-1}\), \(\displaystyle{ n}\)-liczba pierwsza (wskazówka: \(\displaystyle{ p-1=-1}\))

[Premislav]

a) Powinno być jeszcze chyba założenie \(\displaystyle{ n>2}\); wtedy łatwo się przekonać, że elementem odwrotnym do \(\displaystyle{ 2}\) w \(\displaystyle{ \ZZ^*_n}\) jest \(\displaystyle{ \frac{n+1}{2}}\), ale nie umiem tu skorzystać z twierdzenia Eulera i szczerze mówiąc, wątpię, żeby to ułatwiało sprawę.
b) \(\displaystyle{ (n-1)^2=n^2-2n+1\equiv 1 \pmod{n}}\), więc elementem odwrotnym do \(\displaystyle{ n-1}\) jest samo \(\displaystyle{ n-1}\)

[ama1623]

Dlaczego w b jest \(\displaystyle{ (n-1)^{2}}\)

[Jan Kraszewski]

Bo Premislav jest spostrzegawczy: zauważył, że \(\displaystyle{ n-1}\) jest odwrotne samo do siebie, a potem dowiódł prawdziwość tego spostrzeżenia - pokazał, że \(\displaystyle{ (n-1)\cdot_n(n-1)=1}\) w \(\displaystyle{ \ZZ^*_n}\).

JK

[ama1623]

a z czego skorzystał w podpunkcie a?

[Jan Kraszewski]

Jak wyżej, ze spostrzegawczości. Skoro \(\displaystyle{ n}\) jest pierwsza \(\displaystyle{ >2}\), to jest nieparzysta, więc \(\displaystyle{ \frac{n+1}{2}\in\ZZ^*_n}\) (bo jest liczbą naturalną) i masz \(\displaystyle{ \frac{n+1}{2}\cdot_n2=1}\) w \(\displaystyle{ \ZZ^*_n}\).

JK

[ama1623]

a jak można rozwiązać zadanie nie wykorzystując spostrzegawczości?