Przedstawienie każdej liczby rzeczywistej

[Poszukujaca]

Czy każdą liczbę rzeczywistą można przedstawić w postaci: \(\displaystyle{ p + q \sqrt{2}}\), gdzie \(\displaystyle{ p, q \in \QQ}\)?

[Kaf]

Nie, chociażby dlatego, że zbiór liczb tej postaci jest przeliczalny.

[Poszukujaca]

Tak, racja. A czy dobrze myślę, że zbiór liczb tej postaci z dodawaniem i mnożeniem będzie podciałem ciała liczb rzeczywistych?

[Kaf]

Tak (co oczywiście trzeba uzasadnić)

[Poszukujaca]

Spróbuję udowodnić, że zbiór \(\displaystyle{ A=\left\{ p+q\sqrt{2}: p, q \in \QQ \right\}}\) jest podciałem \(\displaystyle{ \RR}\).

W tym celu pokażę, że \(\displaystyle{ \forall_{a,b \in A}: (a \cdot b^{-1} \in A \wedge a-b \in A)}\).

Niech \(\displaystyle{ a, b \in A}\). Oznaczmy: \(\displaystyle{ a=p_{1}+q_{1}\sqrt{2}}\), \(\displaystyle{ b=p_{2}+q_{2}\sqrt{2}}\).

\(\displaystyle{ b^{-1}=\frac{1}{p_{2}-q_{2}\sqrt{2}}}\), więc:
\(\displaystyle{ a \cdot b^{-1} = \frac{p_{1}+q_{1}\sqrt{2}}{p_{2}+q_{2}\sqrt{2}} = \frac{(p_{1}+q_{1}\sqrt{2})(p_{2}-q_{2}\sqrt{2})}{p_{2}-2q_{2}^{2}}=\frac{p_{1}p_{2}-2q_{1}q_{2}+\sqrt{2}(p_{2}q_{1}-p_{1}q_{2})}{p_{1}^{2}-2q_{2}^{2}} = \frac{p_{1}p_{2}-2q_{1}q_{2}}{p_{2}^{2}-2q_{2}^{2}} + \frac{p_{2}q_{1}-p_{1}q_{2}}{p_{2}^{2}-2q_{2}^{2}} \sqrt{2}}\)
Wynika z tego, że \(\displaystyle{ a \cdot b^{-1} \in A}\).

Następnie:
\(\displaystyle{ a-b = p_{1}+q_{1}\sqrt{2}-p_{2}-q_{2}\sqrt{2}=(p_{1}-p_{2})+(q_{1}-q_{2})\sqrt{2}}\), więc \(\displaystyle{ a-b \in A}\).

Zatem \(\displaystyle{ A}\) jest podciałem \(\displaystyle{ \RR}\).