Udowodnić, że jeśli układ \(\displaystyle{ \begin{cases} x_1+…+x_k =y_1+…+y_k \\ x_1^2+…+x_k^2 =y_1^2+…+y_k^2 \\ … \\ x_1^n+…+x_k^n =y_1^n+…+y_k^n \end{cases}}\)
ma rozwiązania nietrywialne (tj. takie, że \(\displaystyle{ \{ x_1,…,x_k \} \neq \{ y_1,…,y_k \}}\)) to \(\displaystyle{ k \geq n+1}\)
Czy jeśli powyższe jest spełnione, to jak można skonstruować takie rozwiązania ?
Zakładam, że pracujemy w \(\displaystyle{ \mathbb{C}}\).
Niech \(\displaystyle{ s_i(t_1,t_2,...,t_k)\in \mathbb{Q}[t_1,t_2,...,t_k]}\) będzie \(\displaystyle{ i}\)-tym elementarnym wielomianem symetrycznym dla \(\displaystyle{ 0\leq i}\). Przypominamy \(\displaystyle{ s_i(t_1,t_2,...,t_k)=\sum_{1\leq j_1<j_2<...<j_i\leq k}t_{j_1}t_{j_2}...t_{j_i}}\)
dla \(\displaystyle{ 0\leq i\leq k}\) oraz \(\displaystyle{ s_i(t_1,t_2,...,t_k)=0}\)
dla \(\displaystyle{ k+1\leq i}\). Dodatkowo definiujemy wielomiany \(\displaystyle{ p_i(t_1,t_2,...,t_k)\in \mathbb{Q}[t_1,t_2,...,t_k]}\) dla \(\displaystyle{ 0\leq i}\) przez formułę \(\displaystyle{ p_i(t_1,t_2,...,t_k)=\sum_{1\leq j\leq n}t_j^i}\)
Każdy kto miał trochę doświadczenia z wielomianami symetrycznymi miał pewnie okazję dowiedzieć się, że dla każdego \(\displaystyle{ 0\leq n}\) istnieją wielomianowe relacje o współczynnikach wymiernych, które wyrażają wielomiany \(\displaystyle{ p_0}\),...,\(\displaystyle{ p_n}\) w terminach wielomianów \(\displaystyle{ s_0}\),...,\(\displaystyle{ s_n}\) i vice versa.
Z tego wynika, że układ równań w zadaniu jest równoważny układowi równań \(\displaystyle{ s_i(x_1,x_2,...,x_k)=s_i(y_1,y_2,...,y_k)}\)
dla \(\displaystyle{ 0\leq i\leq n}\). Rozważmy dwa wielomiany \(\displaystyle{ F(t)=\sum_{0\leq i\leq k}(-1)^is_i(x_1,x_2,...,x_k)t^{k-i}}\) \(\displaystyle{ G(t)=\sum_{0\leq i\leq k}(-1)^is_i(y_1,y_2,...,y_k)t^{k-i}}\)
Oznaczmy \(\displaystyle{ m=\min\{k,n\}}\). Dostajemy 1) Układ równań zapisany w treści zadania jest dokładnie równoważny temu, że oba te wielomiany mają wszystkie współczynniki przy \(\displaystyle{ t^k,t^{k-1},...,t^{k-m}}\)
równe. 2) Z drugiej strony zbiory \(\displaystyle{ \{x_1,...,x_k\}}\) oraz \(\displaystyle{ \{y_1,...y_k\}}\) są równe wtedy i tylko wtedy, gdy wielomiany \(\displaystyle{ F}\) i \(\displaystyle{ G}\) są równe tj. mają identyczne współczynniki. Są to po prostu zbiory pierwiastków tych wielomianów.
Zachodzi tez fakt Jeśli mamy dane wszystkie współczynniki wielomianu w \(\displaystyle{ \mathbb{C}[t]}\) poza wyrazem wolnym, to dobierając wyraz wolny dowolnie na dwa różne sposoby otrzymamy wielomiany, który całkowicie rozkładają się na czynniki liniowe. Oczywiście wtedy te wielomiany będą miały różne zbiory pierwiastków.
To stwierdzenie jest oczywiste na mocy zasadniczego twierdzenia algebry.
Podsumowując, układ równań ma tylko trywialne rozwiązania w liczbach zespolonych wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ k-m=0}\). Jest to równoważne temu, że \(\displaystyle{ k=\min\{k,n\}}\) czyli \(\displaystyle{ k\leq n}\). W przeciwnym przypadku tj. dla \(\displaystyle{ k\geq n+1}\) istnieją rozwiązania nietrywialne i można je konstruować biorąc pierwiastki odpowiednich wielomianów stopnia \(\displaystyle{ k}\) o \(\displaystyle{ n+1}\) najstarszych wyrazach równych.
