Udowodnij, że jest to liczba złożona

[Ogorek00]

125-cyfrowa liczba n ma postać 111....1. Udowodnij, że jest to liczba złożona

[Premislav]

\(\displaystyle{ \overbrace{11\dots1}^{n}= \frac{10^n-1}{9}}\)

Zatem \(\displaystyle{ \overbrace{11\dots1}^{125}= \frac{10^{125}-1}{9}}\)
i teraz skorzystaj sprytnie (dwa razy) ze wzoru na różnicę n-tych potęg.

[kerajs]

Nawet nie trzeba nic liczyć bo złożenie od razu widać:
\(\displaystyle{ \underbrace{111...11}_{125}=\underbrace{111...1}_{25} \cdot\left( 1+10^{25}+10^{50}+10^{75}+10^{100}\right)=\underbrace{11111}_{5} \cdot\left( 1+10^{5}+10^{10}+10^{15}+...+10^{120}\right)}\)

[bakala12]

Jako ćwiczenie proponuję uogólnienie zadania:
Udowodnić, że jeżeli liczba \(\displaystyle{ \underbrace{11 \dots 11}_{n}}\) jest pierwsza, to liczba \(\displaystyle{ n}\) też jest pierwsza.
Uprzedzając ewentualne wątpliwości, twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe.

[Premislav]

Moim zdaniem to też idzie ze wzorów skróconego mnożenia, wystarczy skorzystać z tego, że \(\displaystyle{ ( p \Rightarrow q) \Leftrightarrow \left( \neg q \Rightarrow \neg p\right)}\)

Ukryta treść:    

załóżmy, że liczba \(\displaystyle{ n \in \NN}\) jest złożona, tj. istnieją takie \(\displaystyle{ s,t \in \NN, 1<s \le t<n}\), że \(\displaystyle{ n=s\cdot t}\). Jak już wyżej stwierdziłem, mamy
\(\displaystyle{ \underbrace{11\dots 1}_{n}= \frac{10^n-1}{9}= \frac{10^{st}-1^{st}}{9}=\frac 1 9\left( 10^s-1\right) \sum_{k=0}^{t-1}10^{ks}}\)
Oczywiście \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{t-1}10^{ks}>1}\), bo \(\displaystyle{ t>1}\), podobnie \(\displaystyle{ \frac{1}{9}(10^s-1)>1}\) (np. ze względu na monotoniczność odpowiedniej funkcji \(\displaystyle{ f(s)}\)), gdyż \(\displaystyle{ s>1}\), a ponadto
\(\displaystyle{ 10^s\equiv 1\pmod{9}}\), więc \(\displaystyle{ 10^s-1 \equiv 0\pmod{9}}\), czyli \(\displaystyle{ \frac{1}{9}(10^s-1)\in \NN^+}\) (i jest jak już stwierdziłem większe od jedynki).
Czyli jeśli \(\displaystyle{ n}\) jest złożone, to \(\displaystyle{ \underbrace{11\dots 1}_{n}}\) jest liczbą złożoną, a to jest równoważne naszej tezie.

Szczerze mówiąc, takie rozwiązanie jednak nic nowego nie wnosi. Może coś ciekawszego da się tu wymyślić [tj. nie "ciekawsze uogólnienie", cokolwiek miałoby to znaczyć, tylko ciekawszy sposób na dowód]?