Wykazywanie podzielności przez 7

[Stefaniak1916]

\(\displaystyle{ 1}\). Mamy \(\displaystyle{ 13}\) liczb naturalnych, takich, że suma każdych czterech spośród tych liczb jest podzielna przez 7. Udowodnij, że suma tych wszystkich trzynastu liczb naturalnych jest podzielna przez \(\displaystyle{ 7}\).

Serdecznie proszę o pomoc w rozwiązaniu tego zadania.

[dec1]

Niech te liczby to \(\displaystyle{ a_1, \ldots, a_{13}}\).

Zsumuj \(\displaystyle{ a_{10}}\) do \(\displaystyle{ a_{13}}\), \(\displaystyle{ a_6}\) do \(\displaystyle{ a_9}\) oraz dziesięć czwórek takich, że po osiem razy są w nich \(\displaystyle{ a_1, \ldots, a_5}\)

Wynik to \(\displaystyle{ a_1+\ldots + a_{13}+ 7\left( a_1 + \ldots + a_5\right)}\) i jest podzielny przez \(\displaystyle{ 7}\), a zatem \(\displaystyle{ a_1+\ldots+a_{13}}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ 7}\).

[tajnosagentos]

Działania na resztach:
Oczywiście reszt może być co najwyżej siedem a liczb jest 13 czyli co najmniej sześć liczb ma takie same reszty:

\(\displaystyle{ x_{1}+x_{2}+...+x_{13}=y+2(t_{1}+...+t_{6})=y+2(t_{1}+t_{2})=y+t_{1}+t_{1}+t_{2}+t_{2}}\)

\(\displaystyle{ 2x_{1}+x_{2}+y=0}\)

\(\displaystyle{ 2\left(x_{1}+x_{2} \right)=0}\)

\(\displaystyle{ y+x_{1}+2x_{2}=0}\)

z tego układu równań w ciele modulo siedem wyjdzie:

\(\displaystyle{ x_{1}=x_{2}=y=0}\)

cnd...

[Stefaniak1916]

Dzięki, te pierwsze rozwiązanie rozumiem, ale rozwiązania tajnosagentos niestety trudno mi zrozumieć. Mógłby mi to ktoś wytłumaczyć jak krowie na rowie i przedsawić zapis modulo? Dzięki wielkie.

[kerajs]

Może tak:
Oznaczenia jak u dec1.
Skoro każda suma \(\displaystyle{ a_1+a_2+a_3+a_x}\) (gdzie \(\displaystyle{ a_x}\) to dowolna z liczb od \(\displaystyle{ a_4}\) do \(\displaystyle{ a_13}\)) jest podzielna przez 7 to liczby od \(\displaystyle{ a_4}\) do \(\displaystyle{ a_13}\) mają identyczną resztę w dzieleniu przez 7. A jeśli suma czterech z nich jest także podzielna przez 7 to każda jest wielokrotnością liczby 7. Biorąc do sumy trzy z nich i jedną z \(\displaystyle{ a_1,a_2,a_3}\), to liczby \(\displaystyle{ a_1,a_2,a_3}\) także są wielokrotnościami liczby 7. Stąd suma trzynastu, jak i mniejszej ilości tych liczb, jest przez siedem podzielna.

[PoweredDragon]

Huh?

\(\displaystyle{ (a_1+...+a_4)+(a_5+...+a_8)+(a_9+...+a_{12})+(a_{13}+...+a_3)+(a_4+...+a_7)+(a_8+...+a_{11})+...+(a_{10}+a_{11}+a_{12}+a_{13}) = 4(a_1+...+a_{13})}\)

A to jest suma wyrazów podzielnych przez 7; skoro więc 4
eq 7k, to drugi czynnik, tj. suma musi być podzielna przez 7.