Dziwny dowód - ułamek łańcuchowy.

[tometomek91]

Hej.

Zdefiniujmy:

\(\displaystyle{ \Upsilon = \frac{2}{ \frac{3}{ \frac{3}{ \frac{3}{...} + \frac{1}{...}}+\frac{1}{\frac{3}{...} + \frac{1}{...}}}+ \frac{1}{ \frac{3}{\frac{3}{...}+\frac{1}{...}} + \frac{1}{\frac{3}{...}+\frac{1}{...}}}}}\)

Należy wykazać lub obalić:
\(\displaystyle{ \Upsilon ^{ \pi ^{ \Upsilon ^{(2 \pi)^{ \Upsilon^{(3 \pi)^{...}}} } } } = \Upsilon \sqrt{ \Upsilon \sqrt[3]{\Upsilon \sqrt[4]{\Upsilon ... }}}\)

Zadanie znalezione gdzieś "w internetach", więc nie wiadomo czy równanie zachodzi. Z góry dzięki za jakąkolwiek pomoc.

Tomek

[PoweredDragon]

Oczywiście równość zachodzi

Wykazać trzeba tylko, że \(\displaystyle{ \Upsilon = 1}\)



A skoro chcesz dowodu:

Ukryta treść:    

Teza: \(\displaystyle{ \Upsilon = 1}\)

\(\displaystyle{ \Upsilon = \frac{2}{ \frac{3}{ \frac{3}{ \frac{3}{...} + \frac{1}{...}}+\frac{1}{\frac{3}{...} + \frac{1}{...}}}+ \frac{1}{ \frac{3}{\frac{3}{...}+\frac{1}{...}} + \frac{1}{\frac{3}{...}+\frac{1}{...}}}} =\frac{2}{2\Upsilon} = \frac{1}{\Upsilon}}\)

Z tego masz: \(\displaystyle{ \Upsilon = \frac{1}{F}}\)
\(\displaystyle{ \Upsilon^2 = 1}\)
\(\displaystyle{ \Upsilon = 1 \vee \Upsilon = -1}\), ale \(\displaystyle{ \Upsilon>0}\), co jest oczywiste.

Reszta dowodu już chyba nie jest dla cb taka trudna?

Pominąłem kwestię zbieżności ułamka łańcuchowego, bo wyglądałoby to jak zwykle xd