Równanie diofantyczne

Tyfon · Post autor: **Tyfon** » 15 lut 2017, o 13:23

Jakie rozwiązać takie równanie diofantyczne \(\displaystyle{ 2^x-1=3^y}\) w\(\displaystyle{ \mathbb{Z}}\) oraz mod 8 ?

mol_ksiazkowy · Post autor: **mol_ksiazkowy** » 15 lut 2017, o 13:40

rozwijając na przypadki: \(\displaystyle{ x}\) jest parzyste, i \(\displaystyle{ x}\) jest nieparzyste...

Tyfon · Post autor: **Tyfon** » 15 lut 2017, o 13:45

Dzięki, ale nie wiem co dalej, z jakich twierdzeń sugerujesz skorzystać? Jakoś nie czuje jeszcze tego, równanie diofantyczne liniowe bym rozwiązał, ale z wykładniczym mam problem. Z góry dziękuję.

Premislav · Post autor: **Premislav** » 15 lut 2017, o 13:47

Można również od razu przywalić z twierdzenia Mihăilescu (zwanego kiedyś hipotezą Catalana). Teraz poproszę o trochę bólu d. że nieelementarne i na pewno nie znam dowodu (to fakt).

mol_ksiazkowy · Post autor: **mol_ksiazkowy** » 15 lut 2017, o 13:48

Jesli \(\displaystyle{ x}\) jest parzyste, to \(\displaystyle{ x=2z}\) i \(\displaystyle{ 2^x-1=(2^z-1)(2^z+1)}\) itd...-- 15 lutego 2017, 13:54 --Jesli \(\displaystyle{ x}\) jest nieparzyste to \(\displaystyle{ 2^x-1}\) nie dzieli sie przez 3...

arek1357 · Post autor: **arek1357** » 15 lut 2017, o 13:59

\(\displaystyle{ 2^x-3^y=1}\)

\(\displaystyle{ a^x-b^y=c}\)

Jest takie twierdzenie Benetta czy jakiegoś tam że:

jeśli \(\displaystyle{ a,b \ge 2, c \neq 0}\)

To tego typu równanie ma co najwyżej dwa rozwiązania naturalne.

Dla ujemnych x,y będą ułamki co łatwo sprawdzić.

Tyfon · Post autor: **Tyfon** » 15 lut 2017, o 14:39

Podobnie napisał Premislav o twierdzeniu Mihăilescu, ale dziękuję za pomoc.