Dowód niewymierności pierwiastka kwadratowego z 3

[okmijn]

Jak udowodnić że \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\) jest liczbą niewymierną, proszę o pomoc bo dla mnie to czarna magia

Poprawiłem temat i zapis. Zapoznaj się z:
https://matematyka.pl/viewtopic.php?t=28951
i staranniej dobieraj działy w których umieszczasz zadania.
max

[Lider_M]

Jest wiele metod, mi się najbardziej chyba podoba ta:
Załóżmy wbrew temu co mamy udowodnić, że \(\displaystyle{ \sqrt{3}=\frac{p}{q}}\) gdzie \(\displaystyle{ p,q}\) są względnie pierwszymi liczbami naturalnymi, wtedy oczywiście:
\(\displaystyle{ 3q^2=p^2}\), czyli musi zachodzić \(\displaystyle{ 3|p}\), podstawmy \(\displaystyle{ p=3p_1}\), wtedy:
\(\displaystyle{ q^2=3p_1^2}\), więc musi zachodzić \(\displaystyle{ 3|q}\), podtawmy \(\displaystyle{ q=3q_1}\), wtedy:
\(\displaystyle{ 3q_1^2=p_1^2}\), czyli i \(\displaystyle{ 3|p_1}\)... itd... Możemy tak robić w nieskończoność, dostajemy wówczas dwa nieskończone, malejące ciągi \(\displaystyle{ \{q_n\},\{p_n\}}\) (gdyż zachodzi \(\displaystyle{ p>p_1>p_2>...}\)) liczb naturalnych, lecz jest to niemożliwe w liczbach naturalnych.
Z tego wszystkiego wynika, że \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\) jest niewymierna.
(skorzystałem tutaj z nieskończonego schodzenia Fermata)

No a jak Ci ten dowód jakoś nie pasuje, to zapewne na forum był już poruszany podobny temat wielokrotnie, wystarczy poszukać.

[max]

Przy tym dowodzie założenie, że \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\) są względnie pierwsze jest zbędne.

[okmijn]

Dziękuję ślicznie