Wykazywanie, że dana różnica liczb jest podwojonym kwadratem

[Stefaniak1916]

1. a i b to dodatnie liczby całkowite. Pewna liczba postaci \(\displaystyle{ a^{4} - b ^{4}}\) jest iloczynem dwóch liczb pierwszych \(\displaystyle{ q}\) i \(\displaystyle{ p}\), przy czym \(\displaystyle{ q<p}\). Wykaż, że liczba \(\displaystyle{ p-q}\) jest podwojonym kwadratem liczby naturalnej.

Witam, serdecznie poproszę o pomoc w rozwiązaniu tego zadania.

[Premislav]

Nie pisz na forum "dzień dobry", bo userzy mogą to przeczytać w nocy.

\(\displaystyle{ a^4-b^4=(a^2+b^2)(a^2-b^2)}\)
1) Niech \(\displaystyle{ a^2-b^2>1}\). Gdyby któraś z liczb \(\displaystyle{ a^2-b^2, a^2+b^2}\) była złożoną, to liczby \(\displaystyle{ a^4-b^4}\)nie dałoby się zapisać w formie \(\displaystyle{ pq}\), dla różnych \(\displaystyle{ p,q}\) pierwszych - uzasadnij to (ile co najmniej dzielników pierwszych miałaby wówczas liczba \(\displaystyle{ a^4-b^4}\)?). Zatem w tym przypadku \(\displaystyle{ p=a^2+b^2, q=a^2-b^2}\)
2) \(\displaystyle{ a^2-b^2=1}\) nie zachodzi dla żadnej pary dodatnich liczb całkowitych, gdyż odstępy między kolejnymi kwadratami rosną, a \(\displaystyle{ 2^2-1^2=3>1}\)

[Stefaniak1916]

Dzięki,
chodzi o to, że gdyby któraś z tych liczb \(\displaystyle{ a ^{2}- b ^{2},a ^{2}+ b ^{2}}\) byłaby złożona, to wtedy dana liczba stałaby się kolejnym dzielnikiem liczby \(\displaystyle{ a ^{4}- b ^{4}}\) oprócz \(\displaystyle{ 1,q,p,pq}\), a to jest niemożliwe?
Jedna liczba nie może być jednocześnie iloczynem dwóch różnych liczb pierwszych i iloczynem dwóch innych liczb, z których co najmniej jedna jest złożona, bo gdy jakaś liczba jest iloczynem dwóch liczb pierwszych(\(\displaystyle{ p,q}\), to jedyne dzielniki tej liczby to:\(\displaystyle{ 1, q, p, pq}\). Nie może być więc tak, żeby jeszcze ta liczba była iloczynem liczb \(\displaystyle{ a ^{2}- b ^{2},a ^{2}+ b ^{2}}\), z których co najmniej jedna jest złożona, bo te liczby mogą być tylko równe \(\displaystyle{ 1, q, p}\), czyli liczby \(\displaystyle{ a ^{2}- b ^{2},a ^{2}+ b ^{2}}\) nie mogą być złożone.

Więc jedyną możliwością jest możliwość 1). Rzeczywiście, bo
\(\displaystyle{ p-q=a ^{2}+b ^{2} - a^{2}+b^{2}=2b^{2}}\)
Nie wiem czy dobrze napisałem, jakbyś mógł to proszę przedstaw to prostszym językiem.

[Premislav]

Z tego, co napisałeś, wynika, że załapałeś ideę, ale trochę inaczej bym to zapisał.

Wiemy, że \(\displaystyle{ pq=a^4-b^4=(a^2-b^2)(a^2+b^2)}\) dla pewnych \(\displaystyle{ p, q}\) pierwszych takich, że \(\displaystyle{ q<p}\).
Mamy \(\displaystyle{ a^2-b^2>1}\), więc także \(\displaystyle{ a^2+b^2>1}\). Dla ustalenia uwagi załóżmy nie wprost, że liczba \(\displaystyle{ a^2+b^2}\) jest złożona. Wówczas istnieje liczba pierwsza \(\displaystyle{ r<a^2+b^2}\), która dzieli \(\displaystyle{ a^2+b^2}\). Skoro \(\displaystyle{ pq=a^4-b^4}\), to także \(\displaystyle{ r}\) dzieli \(\displaystyle{ pq}\). Ponieważ \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\) są pierwsze, więc w szczególności \(\displaystyle{ \NWD(p,q)=1}\), a zatem ze znanego lematu \(\displaystyle{ r}\) dzieli \(\displaystyle{ p}\) albo \(\displaystyle{ r}\) dzieli \(\displaystyle{ q.}\) Stąd już mamy \(\displaystyle{ p=r \vee q=r}\). znów dla ustalenia uwagi niech \(\displaystyle{ p=r}\). Wówczas \(\displaystyle{ q=(a^2-b^2)\left( \frac{a^2+b^2}{r} \right)}\) i zarówno \(\displaystyle{ a^2-b^2>1}\), jak i \(\displaystyle{ \frac{a^2+b^2}{r}>1}\), czyli \(\displaystyle{ q}\) jest złożona. Sprzeczność.

Myślę, że można to zapisać jeszcze dużo klarowniej, ale nie mam dużego doświadczenia w rozwiązywaniu zadań z teorii liczb ani matematycznego "daru".
Pozdrawiam.-- 14 lut 2017, o 14:44 --Dodam, że lepiej było na początku króciutko uargumentować, że \(\displaystyle{ a^2-b^2>1}\), a nie "rozważać dwa przypadki", przy czym jeden nie zachodzi (jak zrobiłem poprzednio).

[Sylwek]

Można też tak: \(\displaystyle{ (a-b) \cdot (a+b) \cdot (a^2+b^2)=1 \cdot q \cdot p}\), a skoro mamy też \(\displaystyle{ a>b \ge 1}\), to...