Oszacowanie maksymalnych wartości wyrażenia diofantycznego

[matemix]

Mam kolejne pytanie związane z wyrażeniem \(\displaystyle{ 2^{x+y}-3^{y}}\). Czy wyrażenie:

\(\displaystyle{ \frac {2^{x+y} \cdot (y-1)}{2^{x+y}-3^{y}}}\)

może przyjmować dowolnie duże wartości (wszystkie zmienne są naturalne)? Największe wartości mamy dla \(\displaystyle{ \frac {y}{x} \approx \frac {ln(2)}{ln(1,5)}}\). I wydaje się, że im lepsze oszacowanie \(\displaystyle{ \frac {y}{x} \approx \frac {ln(2)}{ln(1,5)}}\) znajdziemy, tym większą wartość otrzymamy. Ale może dla dużych wartości \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) liczba \(\displaystyle{ 3^{y}}\) będzie tak znacząco mniejsza od \(\displaystyle{ 2^{x+y}}\), nawet dla najlepszych przybliżeń, że wyrażenie będzie dążyło np. do \(\displaystyle{ 1}\)? Jest taka możliwość, czy to błędne rozumowanie?

[PoweredDragon]

Ale może dla dużych wartości x i y liczba \(\displaystyle{ 3^{y}}\) będzie tak znacząco mniejsza od \(\displaystyle{ 2^{x+y}}\), nawet dla najlepszych przybliżeń, że wyrażenie będzie dążyło np. do 1? Jest taka możliwość, czy to błędne rozumowanie?

Przede wszystkim po przedzieleniu przez \(\displaystyle{ 2^(x+y)}\). I nie, nie będzie tak; Gdy tylko y jest coraz większym przybliżeniem \(\displaystyle{ x \frac{\ln(2)}{\ln(\frac{3}{2})}}\), a z każdą pełną potęgą dziesiątki jest to wręcz oczywiste, wówczas dół dąży do zera, a góra pozostaje \(\displaystyle{ y-1>0}\)