dowód - liczby naturalne

[grazyna]

Uzasadnij, że dla każdej liczby naturalnej n wartość wyrażenia \(\displaystyle{ \frac{1}{9}(100^{n+1}+4 \cdot 10^{n+1}+4)}\) jest kwadratem liczby naturalnej.

Proszę o pomoc. Udało mi się już zauważyć wzór skróconego mnożenia w nawiasie, ale co dalej?

[Zahion]

skorzystaj z tego, że \(\displaystyle{ a^{2} +4ab + 4b^{2} = \left( a+2b\right)^{2}}\)

[Premislav]

Udało mi się już zauważyć wzór skróconego mnożenia w nawiasie, ale co dalej?

Dalej już łatwo.
\(\displaystyle{ \frac{1}{9}(100^{n+1}+4\cdot 10^{n+1}+4)=\left( \frac{10^{n+1}+2}{3} \right)^2}\)
i wystarczy uzasadnić, że \(\displaystyle{ 3|(10^{n+1}+2)}\). Wskazówka:
\(\displaystyle{ 10=9+1\\10^{n+1}=(9+1)^{n+1}}\)

[grazyna]

Dziękuję serdecznie, już wszystko jasne