Wyznaczanie par liczb spełniających równanie

[Stefaniak1916]

1. Wyznacz wszystkie pary (a, b) dodatnich liczb całkowitych, dla których
\(\displaystyle{ 2a+b+3\sqrt{ab}=3\sqrt{a}+3\sqrt{b}}\)

Na razie znam jedną parę liczb spełniających to równanie. Wiem też, że b musi być nieparzyste, bo
\(\displaystyle{ 2a+b=3\sqrt{a}-3\sqrt{ab}+3\sqrt{b}}\)
\(\displaystyle{ 2a+b=3(\sqrt{a}-\sqrt{ab}+\sqrt{b})}\)
,więc 2a+b musi być podzielne przez 3, więc b musi być nieparzyste. Tylko proszę o pomoc w napisaniu pełnego, syntetycznego dowodu.
Serdecznie dziękuję i pozdrawiam!

[Mruczek]

Hint:    

Próbuj szacować strony równania.

Hint2:    

Gdy \(\displaystyle{ a, b}\) są całkowite dodatnie to:
\(\displaystyle{ \sqrt{ab} \ge \sqrt{a}}\) (równość zachodzi, gdy \(\displaystyle{ b = 1}\))
\(\displaystyle{ \sqrt{ab} \ge \sqrt{b}}\) (równość zachodzi gdy \(\displaystyle{ a = 1}\))
\(\displaystyle{ a \ge \sqrt{a}}\) (równość zachodzi gdy \(\displaystyle{ a = 1}\))
\(\displaystyle{ b \ge \sqrt{b}}\) (równość zachodzi gdy \(\displaystyle{ b = 1}\))

[Stefaniak1916]

Dziękuję, dość długo siedziałem nad tym zadaniem i właśnie zauważyłem, że skoro obie strony równania muszą być dodatnie, to
\(\displaystyle{ \sqrt{a}+\sqrt{b}>\sqrt{ab}}\), ale jak z tego wywnioskować wartość a i b?
Z góry dziękuję i pozdrawiam.

[Mruczek]

\(\displaystyle{ \sqrt{a}+\sqrt{b}>\sqrt{ab}}\)

To nie jest prawda, np. dla \(\displaystyle{ a = 100}\), \(\displaystyle{ b = 100}\).

Oszacuj sposobem, który Ci podałem tak, że:
\(\displaystyle{ 2a+b+ 3\sqrt{ab} \ge 3 \sqrt{a}+3 \sqrt{b}}\).

[RCCK]

Nie wiem czy to dobre wyjście ale sprawdziłem dwie pary i się zgadza.
Potraktowałem to jak równanie kwadratowe zmiennej \(\displaystyle{ \sqrt{a}}\)

\(\displaystyle{ 2 (\sqrt{a})^{2} + \sqrt{a}(3 \sqrt{b}-3)+b-3 \sqrt{b}=0}\)

\(\displaystyle{ \Delta = ( \sqrt{b}+3)^{2}}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{a} = \frac{-3 \sqrt{b}+3+\sqrt{b}+3 }{4}= \frac{-2\sqrt{b}+6}{4}}\)

Druga możliwość odpada bo jest ujemna.

Teraz już nasuwa się, ze skoro wynik ma być dodatni i całkowity to licznik musi być \(\displaystyle{ 0}\) lub \(\displaystyle{ 4}\) (więcej nie da rady, bo najwięcej może być \(\displaystyle{ 6}\)) co daje odpowiednio \(\displaystyle{ b}\) równe \(\displaystyle{ 9}\) i \(\displaystyle{ 1}\) oraz a \(\displaystyle{ 0}\) i \(\displaystyle{ 1}\).

Głowy nie dam sobie urwać, fajnie jakby ktoś potwierdził bo ja dziś nie myślę.

Edit: no właśnie, zapomniałem że mają być dodatnie a nie nieujemne, więc zostanie jedna z tych możliwości \(\displaystyle{ (1,1)}\)

[Mruczek]

Rozwiązania miały być dodatnie, więc licznik nie może być równy \(\displaystyle{ 0}\). Dlatego jedyne rozwiązanie to \(\displaystyle{ (a, b) = (1, 1)}\). Ogólnie jest dobrze.

W moim sposobie z szacowaniem równość w nierówności zachodzi także tylko, gdy \(\displaystyle{ (a, b) = (1, 1)}\):
\(\displaystyle{ 2a+b+ 3\sqrt{ab} \ge 2 \sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{ab} +2\sqrt{ab} \ge 2 \sqrt{a}+ \sqrt{b}+\sqrt{a} + 2\sqrt{b} \ge 3\sqrt{a} + 3\sqrt{b}}\).

[Stefaniak1916]

Dzięki. Szczerze pisząc nie spotkałem się wcześniej z tą metodą szacowania równość w nierówności. Mógłbyś mi jak wytłumaczyć w razie mozliwosci jak krowie na rowie co do wszystkiego co i jak? Dzięki serdecznie.

-- 11 lut 2017, o 19:28 --

Jakbyś mógł to pomóż młodszemu adeptowi, Mruczek

-- 11 lut 2017, o 19:33 --

Bo właśnie średnio rozumiem dlaczego gdy mamy

\(\displaystyle{ 2a+b+ 3\sqrt{ab} \ge 2 \sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{ab} +2\sqrt{ab} \ge 2 \sqrt{a}+ \sqrt{b}+\sqrt{a} + 2\sqrt{b} \ge 3\sqrt{a} + 3\sqrt{b}}\).

to wtedy (a,b)=(1,1)
Dzięki serdecznie

[Mruczek]

Szacuję lewą stronę przez prawą stronę. Taka nierówność jak wyżej napisałem zachodzi dla dowolnych całkowitych dodatnich \(\displaystyle{ a, b}\). Chcę się dowiedzieć kiedy zachodzi w niej równość - tylko dla takich par \(\displaystyle{ (a, b)}\) dla których w tej nierówności zachodzi równość równanie będzie miało rozwiązanie.
Tutaj:
\(\displaystyle{ 2a+b+ 3\sqrt{ab} \ge 2 \sqrt{a} + b + 3\sqrt{ab} \ge 2 \sqrt{a} + \sqrt{b} + 3\sqrt{ab} = 2 \sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{ab} + 2\sqrt{ab} \ge 2 \sqrt{a}+ \sqrt{b}+ \sqrt{a} + 2\sqrt{ab} \ge 2 \sqrt{a}+ \sqrt{b}+ \sqrt{a} + 2\sqrt{b} = 3\sqrt{a} + 3\sqrt{b}}\)
kolejno wykorzystuję cztery szacowania:
\(\displaystyle{ a \ge \sqrt{a}}\) (równość zachodzi gdy \(\displaystyle{ a = 1}\), a w przeciwnym wypadku lewa \(\displaystyle{ >}\) prawej)
\(\displaystyle{ b \ge \sqrt{b}}\) (równość zachodzi gdy \(\displaystyle{ b = 1}\))
\(\displaystyle{ \sqrt{ab} \ge \sqrt{a}}\) (równość zachodzi, gdy \(\displaystyle{ b = 1}\))
\(\displaystyle{ \sqrt{ab} \ge \sqrt{b}}\) (równość zachodzi gdy \(\displaystyle{ a = 1}\))

Te szacowania są oczywiście specjalnie dopasowane, tak aby na koniec wyszło to co jest po prawej stronie.
Aby zachodziła równość we wszystkich kolejnych nierównościach w szacowaniu na górze postu musi być równość we wszystkich kolejnych czterech oszacowaniach powyżej, z których w niej korzystałem, czyli musi być \(\displaystyle{ (a, b) = (1, 1)}\).

To jest taki trochę olimpijski chwyt - rozwiązanie ze sprowadzeniem do równania kwadratowego przez podstawienie jest bardziej szkolne.

[a4karo]

Albo popatrz tak: to równanie można zapisac jako
\(\displaystyle{ a+3\sqrt{ab}=3\sqrt{a}-a+3\sqrt{b}-b}\)

Lewa strona jest nieujemna, a jest bardzo mało liczb naturalnych dla których \(\displaystyle{ 3\sqrt{a}-a\geq 0}\).

te parę przypadków mozna sprawdzić ręcznie.

[Stefaniak1916]

OK, bardzo dziękuję!