Uzasadnij, ze dla dowolnych liczb dodatnich a i b

[damianb543]

Uzasadnij, ze dla dowolnych liczb dodatnich \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) prawdziwa jest nierówność:

\(\displaystyle{ \frac{a ^{3} }{b}+ \frac{b ^{3} }{a} \ge a ^{2}+b ^{2}}\)

[dec1]

\(\displaystyle{ \frac{a ^{3} }{b}+ \frac{b ^{3} }{a} \ge a ^{2}+b ^{2} \\
a^3 - a^2b + b^3 - b^2a\geq 0 \\
a^2(a-b)-b^2(-b+a)\geq 0 \\
(a-b)^2(a+b)\geq 0}\)
co jest oczywiste

[damianb543]

\(\displaystyle{ \frac{a ^{3} }{b}+ \frac{b ^{3} }{a} \ge a ^{2}+b ^{2} \\
a^3 - a^2b + b^3 - b^2a\geq 0 \\
a^2(a-b)-b^2(-b+a)\geq 0 \\
(a-b)^2(a+b)\geq 0}\)
co jest oczywiste

powinno być \(\displaystyle{ a ^{4}}\) i \(\displaystyle{ b ^{4}}\)...

[dec1]

Ups, racja.

No to ta nierówność wynika natychmiastowo z tw. o ciągach jednomotonicznych

[damianb543]

Ups, racja.

No to ta nierówność wynika natychmiastowo z tw. o ciągach jednomotonicznych

Nie miałem takiego czegoś w liceum..

[Kaf]

No to ta nierówność wynika natychmiastowo z tw. o ciągach jednomotonicznych

Jasne, szczylajmy do komarów z armat (do tego nie umiejąc tych armat poprawnie nazwać)

Wystarczy wymnożyć stronami przez \(\displaystyle{ ab}\), przenieść na jedną stronę, zwinąć do \(\displaystyle{ \left( a^3-b^3\right)\left( a-b\right) \ge 0}\) i zauważyć, że te nawiasy po lewej są zawsze tego samego znaku.