Uzasadnij że liczby naturalnej parzystej

[damianb543]

1. Uzasadnij że liczby naturalnej parzystej niepodzielnej przez \(\displaystyle{ 4}\), nie można zapisać jako różnicy kwadratów dwóch liczb naturalnych.

2. Udowodnij, że suma kwadratów trzech kolejnych liczb naturalnych nie może być kwadratem liczby naturalnej.

3. Oblicz, ile zer na końcu ma w zapisie dziesiętnym liczba \(\displaystyle{ 100!}\)

[Jan Kraszewski]

1. Zastanów się, jaką resztę z dzielenia przez \(\displaystyle{ 4}\) daje różnica kwadratów.

2. Kwadrat liczby naturalnej nie może dać reszty \(\displaystyle{ 2}\) z dzielenia przez \(\displaystyle{ 3}\).

3. Rozkład na czynniki pierwsze - każde zero bierze się z jednej dwójki i jednej piątki. Tutaj dwójek jest więcej niż piątek.

JK

[bartek118]

1. Przypuśćmy, że nie jest to prawda. Niech \(\displaystyle{ n}\) będzie taką liczbą naturalną. Wtedy
\(\displaystyle{ n = a^2 - b^2 = (a-b) (a+b)}\)
Liczby \(\displaystyle{ a+b}\) i \(\displaystyle{ a-b}\) są tej samej parzystości - co z tego możemy wywnioskować?

2. Rozpisz \(\displaystyle{ (n+1)^2 + n^2 + (n-1)^2}\).

3. Zastanów się, kiedy otrzymujemy zero przy iloczynie kilku liczb.

[damianb543]

Nie ogarniam tego 1

[Jan Kraszewski]

Czego w nim nie ogarniasz?

JK

[damianb543]

Jak zapisać tą liczbe niepodzielną przez 4? a w 3 jakby było \(\displaystyle{ 1000!}\) to jak mam niby to rozpisać?

[Jan Kraszewski]

Jak zapisać tą liczbe niepodzielną przez 4?

Liczba parzysta niepodzielna przez \(\displaystyle{ 4}\) jest postaci \(\displaystyle{ 4k+2}\), czyli daje z dzielenia przez \(\displaystyle{ 4}\) resztę dwa.

a w 3 jakby było \(\displaystyle{ 1000!}\) to jak mam niby to rozpisać?

Nic nie rozpisujesz, tylko liczysz piątki.

JK

[KrolKubaV]

W 3 skorzystaj z lematu z zadania 31.

[damianb543]

W 3 skorzystaj z lematu z zadania 31.

na maturze nie bedzie tego

[Jan Kraszewski]

W 3 skorzystaj z lematu z zadania 31.

Po co? To się liczy na palcach.

JK

[damianb543]

W 3 skorzystaj z lematu z zadania 31.

Po co? To się liczy na palcach.

JK

Jak na palcach? \(\displaystyle{ 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9... \cdot 30 \cdot 100}\) i np w 8 mam 3 dwójki w 30 masz 5 i 6

[Jan Kraszewski]

Dlatego trzeba to robić systematycznie. W rozkładzie co piątej liczby jest piątka, a w rozkładzie co dwudziestej piątej są dwie piątki. Oczywiście w żadnym rozkładzie nie ma trzech piątek. Teraz to nawet palce nie są potrzebne, można w pamięci...

A dwójek jest zawsze więcej niż piątek.

JK

[KrolKubaV]

No tak, tu mozna spokojnie policzyć na palcach, ale ważne, żeby tok rozumowania był poprawny, a czemu czasem sobie lekko zycia nie ułatwić? (Chociaż przyznaje, w takich przypadkach policzenie "na palcach" jest tak samo efektywne jak skorzystanie z lematu)

[Jan Kraszewski]

Nie sądzę, żeby dla osoby mniej biegłej zastosowanie lematu było ułatwieniem, bo samo jego sformułowanie ją odrzuci. Lepiej od szczegółu do ogółu, czyli zrozumieć jak to działa na przykładach, a potem ew. uogólniać.

JK

[KrolKubaV]

Faktycznie, ma Pan rację. Nie pomyślałem na to z tej strony.