Reszta z dzielenia wielomianu

[PanCynamon]

Witam, w przykładowych zadaniach na egzamin z algebry znalazłem take zadanie.

Wyznacz resztę z wielomianu \(\displaystyle{ P(x)= x^{70} -2x^{47}+3x^{24}-4x^{5}+5}\) przez wielomian \(\displaystyle{ Q(x)=x^{4}-1}\)

Nie wiem jak je rozwiązać. Próbowałem używać twierdzenia o dzieleniu wielomianu z resztą ale ostatecznie wychodził mi układ równań w którym jedna niewiadoma wychodziła jako parametr. Proszę o pomoc w rozwiązaniu tego zadania.

[Premislav]

Reszta jest wielomianem stopnia nie większego niż \(\displaystyle{ 3}\), bo \(\displaystyle{ Q(x)}\) jest wielomianem czwartego stopnia, więc wystarczy wyliczyć cztery współczynniki. Niech \(\displaystyle{ P(x)=W(x) \cdot Q(x)+R(x)}\), gdzie \(\displaystyle{ R(x)}\) jest wielomianem stopnia \(\displaystyle{ \le 3}\).
Wówczas:
\(\displaystyle{ \begin{cases}P(1)=R(1) \\P(-1)=R(-1) \\ P(i)=R(i)\\P(-i)=R(-i)\end{cases}}\)

- rzecz jasna, liczby \(\displaystyle{ 1,-1,i,-i}\) nie wzięły się znikąd, tylko są pierwiastkami wielomianu \(\displaystyle{ Q(x)}\)

-- 9 lut 2017, o 01:32 --

Niech więc \(\displaystyle{ R(x)=ax^3+bx^2+cx+d}\). Dostajesz układ czterech równań liniowych z czterema niewiadomymi na współczynniki \(\displaystyle{ a,b,c,d.}\)
Co to zadanie robi w "teorii liczb"?

[PanCynamon]

Dzięki za odpowiedź, nie do końca wiedziałem czy to tu się wpasuje i widocznie nie wpasowało. Ale wciąż nie mam pojęcia jak rozwiązać takie równanie. Metodą Gaussa? Jeśli tak to jak przeprowadzać operacje elementarne mając liczby zespolone w układzie.

[Premislav]

Nie równanie, tylko układ równań. Tak, można to zrobić metodą eliminacji Gaussa. Dany wiersz możesz równie dobrze podzielić przez \(\displaystyle{ 2}\), co i choćby przez \(\displaystyle{ 1-3i}\), więc nie widzę problemu.

Można też np. zapisać to z użyciem macierzy, ale odwracanie macierzy \(\displaystyle{ 4\times 4}\) to trochę dużo roboty. Gauss lepszy.