Różnice liczb harmonicznych

[MKultra]

Mam pytanie: Czy różnica pewnych różnych liczb harmonicznych może być liczbą całkowitą?
Dziękuję.

[dec1]

Nie

[MKultra]

dec1,
Ale prosiłbym o podanie dowodu bo jakby kto nie wiedział matematyka się na tym opiera.

[dec1]

Theorem 2. Bardziej elementarnie opisane:

Fakt: w spójnym ciągu liczb całkowitych istnieje tylko jeden element, który jest podzielny przez największą potęgę dwójki, która dzieli jakiś element tego ciągu.

Nasza różnica: \(\displaystyle{ S=\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2}+...+\frac{1}{k+n}}\)

Czyli na mocy Faktu jedna liczba z ciągu \(\displaystyle{ k+1, k+2, \ldots, k+n}\) dzieli się przez jakąś \(\displaystyle{ 2^k}\). Teraz mnożymy równanie powyżej przez \(\displaystyle{ 2^{k-1}}\) i przenosimy na lewą stronę element z tą liczbą podzielną przez \(\displaystyle{ 2^k}\) w mianowniku, a resztę wyrazów na prawą. Wszystkie mianowniki po prawej stronie są nieparzyste, więc równanie jest postaci \(\displaystyle{ \frac{a}{b}=\frac{c}{d}}\) dla \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ d}\) nieparzystych i \(\displaystyle{ b}\) parzystego, co jest sprzecznością, zatem różnica róznych liczb harmonicznych nie może być liczbą całkowitą.