Równanie diofantyczne z trzema niewiadomymi

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
armiawarmia
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 30 sty 2017, o 13:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Równanie diofantyczne z trzema niewiadomymi

Post autor: armiawarmia »

witam, czy ktos moze pomóc przy którymkolwiek z przykładów?

Rozwiaz rownanie diofantyczne:
a) \(\displaystyle{ 25x + 10y +14z = 3}\)
b) \(\displaystyle{ 3x +8y + 12z = 19}\)
c) \(\displaystyle{ 33x + 42y + 22z = 1}\)
Powermac5500
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 323
Rejestracja: 3 sty 2013, o 16:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 62 razy

Równanie diofantyczne z trzema niewiadomymi

Post autor: Powermac5500 »

Rozwiązujesz to rekurencyjnie.

\(\displaystyle{ ax+by+cz=d}\)

Niech \(\displaystyle{ p=NWD(a,b)}\)

Otrzymujemy do rozwiązania dwa równania o mniejszej liczbie zmiennych:

\(\displaystyle{ pt+cz=d}\)

\(\displaystyle{ \frac{a}{p}x+ \frac{b}{p}y=t}\)

A rozumiem, że rozwiązanie równania
\(\displaystyle{ ax+by=c}\)
było na poprzedniej lekcji?
armiawarmia
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 30 sty 2017, o 13:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Równanie diofantyczne z trzema niewiadomymi

Post autor: armiawarmia »

Coś tam było

Zatem, co do podpunktu a:

\(\displaystyle{ \begin{cases} t = 5x + 2y \\ 5t + 14z = 3 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ 14 = 2 \cdot 5 + 4\\
5 = 1 \cdot 4 + 1\\
4 = 4 \cdot 1}\)

czyli:
\(\displaystyle{ 1 = 5 - 1 \cdot 4 = 5 - 1 \cdot (14 - 2 \cdot 5) = 5 \cdot 3 + 14 \cdot (-1)\\
5 \cdot 3 + 14 \cdot (-1) = 1 / \cdot 3\\
5 \cdot 9 + 14 \cdot (-3) = 3}\)


\(\displaystyle{ \begin{cases} t = 9 + \frac{14}{1}a \\ z = -3 - \frac{5}{1}a \end{cases}}\)

Czy idę w dobrą stronę?
Ostatnio zmieniony 30 sty 2017, o 22:42 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot. Nie zostawiaj pustych linii w tagach [latex] [/latex].
Powermac5500
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 323
Rejestracja: 3 sty 2013, o 16:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 62 razy

Równanie diofantyczne z trzema niewiadomymi

Post autor: Powermac5500 »

Mniej więcej

Dzielisz zadanie na 2 etapy.

W pierwszym wyznaczasz \(\displaystyle{ t,z}\)
Znając \(\displaystyle{ t}\) wstawiasz je do drugiego równania i możesz wyliczyć \(\displaystyle{ x,y}\)
armiawarmia
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 30 sty 2017, o 13:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Równanie diofantyczne z trzema niewiadomymi

Post autor: armiawarmia »

Czyli teraz rozwiązuję takie coś:
\(\displaystyle{ 5x + 2y = 9}\) ?

EDIT:

\(\displaystyle{ 5x + 2y = 9 + 14a\\
5 + 2 \cdot (-2) = 1 / \cdot (9 + 14a)\\
5 \cdot (9 + 14a) + 2 \cdot (-18 - 28a) = 9 + 14a}\)

zatem
\(\displaystyle{ x = 9 + 14a\\
y = -18 - 28a}\)


?

kolejny EDIT:
\(\displaystyle{ x_{0} = 9 + 14a\\
y_{0} = -18 - 28a}\)


\(\displaystyle{ \begin{cases} x = 9 + 14a + 2b \\ y = -18 -28a -5b \end{cases}}\)
Ostatnio zmieniony 30 sty 2017, o 22:43 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Nie zostawiaj pustych linii w tagach [latex] [/latex]. Symbol mnożenia to \cdot.
ODPOWIEDZ