Wykaż, że (2n+2)−cyfrowa liczba jest kwadratem liczby nat.

[notforyou]

Wykaż, że (2n+2)−cyfrowa liczba w postaci 11...122...25 (zapis tej liczby to słownie n, jedynek po nich n+1 dwójek i na końcu pięć) jest kwadratem liczby naturalnej dla dowolnego n. Nie wiem czy wiadomo o co chodzi, ale ciężko mi to inaczej zapisać, dlatego podam przykłady takich liczb po kolei dla \(\displaystyle{ n=1 \Rightarrow 1225}\)
\(\displaystyle{ n=2 \Rightarrow 112225}\)
\(\displaystyle{ n=3 \Rightarrow 11122225}\) itd.
więc po prostu liczba w postaci \(\displaystyle{ n \cdot 1...(n+1) \cdot 2...5}\)

[Benny01]

Skorzystaj z sumy szeregu geometrycznego.

[a4karo]

wsk: \(\displaystyle{ \sqrt{1225}=35,\ \sqrt{112225}=335,\ \sqrt{11122225}=3335...}\)

[notforyou]

wsk: \(\displaystyle{ \sqrt{1225}=35,\ \sqrt{112225}=335,\ \sqrt{11122225}=3335...}\)

Zgadza się, też to zauważyłem, tylko, że jest to zadanie z konkursu, na którym nie można używać kalkulatora, więc zauważenie tego tam jest raczej niemożliwe :/

Skorzystaj z sumy szeregu geometrycznego.

Co jest tutaj tym szeregiem?

[Premislav]

Może "szereg" to za duże słowo.
\(\displaystyle{ \overbrace{22\dots 2}^{n+1}0=2\cdot \sum_{k=1}^{n+1}10^k=20 \cdot \frac{10^{n+1}-1}{9}}\)
ze wzoru na sumę początkowych wyrazów ciągu geometrycznego.
Analogicznie mamy
\(\displaystyle{ \overbrace{11\dots 1}^n \overbrace{0\dots 0}^{n+2}= \sum_{k=n+2}^{2n+1}10^k=10^{n+2} \frac{10^n-1}{9}}\)

Teraz to wszystko zsumujmy i otrzymamy
\(\displaystyle{ 10^{n+2} \frac{10^n-1}{9}+20\cdot \frac{10^{n+1}-1}{9}+5}\)

Zauważmy, że:
\(\displaystyle{ 10^{n+2} \frac{10^n-1}{9}+20\cdot \frac{10^{n+1}-1}{9}+5= \frac{10^{2n+2}+10^{n+2}+25}{9}=\left( \frac{10^{n+1}+5}{3} \right)^2}\)
i pozostaje uzasadnić, że liczba \(\displaystyle{ \frac{10^{n+1}+5}{3}}\) jest całkowita, co pozostawiam jako ćwiczenie (wskazówka \(\displaystyle{ 10=9+1}\)).