uzasadnij, że liczba jest liczbą całkowitą, jeśli n należy N

[michal111]

Uzasadnij, że \(\displaystyle{ \frac{100 ^{n} +8}{9}}\) jest liczbą całkowitą, jeśli \(\displaystyle{ n \in N}\)

Mogę to uzasadnić na zasadzie: Liczba 10000....8 jest podzielna przez 9, ponieważ suma cyfr jest podzielna przez 9? i tyle?

Czy trzeba to jakoś zapisać wzorem? (nie wiem jak)

Coś takiego?

\(\displaystyle{ k \in C, \frac{10.....8}{9} = \frac{9k}{9} = k \in C}\)

[Benny01]

Ile wynosi suma cyfr \(\displaystyle{ 100^n?}\)

[michal111]

1

[Benny01]

\(\displaystyle{ 1+8}\) dzieli się przez 9?

[michal111]

tak

[Benny01]

Co z tego wynika?

[michal111]

że licznik jest podzielny przez 9

[PoweredDragon]

W bardziej matematycznym języku:

\(\displaystyle{ 1+8=9 \Rightarrow \forall n \in \mathbb N \exists k \in \mathbb C : 100^n +8 = 9k \Leftrightarrow \frac{100^n+8}{9} = \frac{9k}{9} = k}\)

[Jan Kraszewski]

W bardziej matematycznym języku:

\(\displaystyle{ 1+8=9 \Rightarrow \forall n \in \mathbb N \exists k \in \red\mathbb C\black : 100^n +8 = 9k \Leftrightarrow \frac{100^n+8}{9} = \frac{9k}{9} = k}\)

No to Ci akurat nie wyszło, bo o ile \(\displaystyle{ C}\) może oznaczać zbiór liczb całkowitych, to \(\displaystyle{ \CC}\) już nie - to jest zbiór liczb zespolonych.

Końcówka też nie jest formalnie poprawna. Zresztą sens całego zapisu jest w zasadzie żaden. Wniosek - z matematycznym językiem trzeba ostrożnie.

JK

[michal111]

Czyli jak to poprawnie zapisać matematycznie?

albo jak po prostu odpowiedzieć? wystarczy tak jak napisałem?

[Jan Kraszewski]

Słowami. Zauważasz, że liczba \(\displaystyle{ 100^n+8}\) ma zapis składający się z jedynki na początku, zer (jednego, gdy \(\displaystyle{ n=1}\), wielu, gdy jest większe) oraz ósemki na końcu, więc suma jej cyfr to \(\displaystyle{ 1+8=9}\). Powołujesz się na cechę podzielności przez \(\displaystyle{ 9}\) i koniec.

JK

PS. Gdybyś przypadkiem musiał rozważyć także \(\displaystyle{ n=0}\), to masz \(\displaystyle{ 100^0+8=1+8=9}\) i też jest dobrze.

[PoweredDragon]

W bardziej matematycznym języku:

\(\displaystyle{ 1+8=9 \Rightarrow \forall n \in \mathbb N \exists k \in \red\mathbb C\black : 100^n +8 = 9k \Leftrightarrow \frac{100^n+8}{9} = \frac{9k}{9} = k}\)

No to Ci akurat nie wyszło, bo o ile \(\displaystyle{ C}\) może oznaczać zbiór liczb całkowitych, to \(\displaystyle{ \CC}\) już nie - to jest zbiór liczb zespolonych.

Końcówka też nie jest formalnie poprawna. Zresztą sens całego zapisu jest w zasadzie żaden. Wniosek - z matematycznym językiem trzeba ostrożnie.

JK

Przez liceum w procesie edukacji czy książkach to właśnie \(\displaystyle{ \mathbb C}\), nie \(\displaystyle{ C}\) jest oznaczeniem zbioru liczb całkowitych, a zespolonych "nie ma". I zdaję sobie świetnie sprawę z faktu, że tak naprawdę jest to oznaczenie zbioru liczb zespolonych, zaś przekornie dla Polaków \(\displaystyle{ \mathbb Z}\) oznacza zbiór liczb całkowitych, więc i:

\(\displaystyle{ 1+2n \cdot 0 + 8=9 \Rightarrow \forall n \in \mathbb N: \exists k \in \mathbb N : 100^n +8 = 9k \Rightarrow 9\left| 100^n+8}\).

Czy teraz jest poprawnie?

[Jan Kraszewski]

więc i:

\(\displaystyle{ 1+2n \cdot 0 + 8=9 \Rightarrow \forall n \in \mathbb N: \exists k \in \mathbb N : 100^n +8 = 9k \Rightarrow 9\left| 100^n+8}\).

Czy teraz jest poprawnie?

Nie. Nie jest. Ten zapis jest formalnie niepoprawny. Poza tym nie niesie żadnej specjalnej treści.

Na siłę starasz się używać znaczków, co w tym kontekście nie ma sensu. Nie jest to ani mądrzejsze, ani bardziej poprawne, natomiast wpisuje się w chory szkolny zwyczaj "im więcej znaczków i mniej słów, tym lepiej".

JK