Symbol Legendre'a

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
niecio1916
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 21 sty 2017, o 18:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków

Symbol Legendre'a

Post autor: niecio1916 »

Proszę o pomoc w następującym zadaniu:
Niech \(\displaystyle{ p,q \in \mathbb{P}_{ \ge 3}}\) i załóżmy, że \(\displaystyle{ q=p+4a}\) dla pewnego
\(\displaystyle{ a \in \mathbb{N}_+}\). Dowieść, że \(\displaystyle{ \left( \frac{a}{p} \right) = \left( \frac{a}{q} \right)}\).
PoweredDragon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 817
Rejestracja: 19 lis 2016, o 23:48
Płeć: Mężczyzna
wiek: 21
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 115 razy

Symbol Legendre'a

Post autor: PoweredDragon »

\(\displaystyle{ ( \exists b:b^2 \equiv_p a \wedge \exists k:k^2 \equiv_q a) \vee (a = kp = lq) \vee (\forall b: b^2 \neq_p a \wedge \forall k: k^2 \neq_q a)}\)

\(\displaystyle{ k, b, l, q, a \in \mathbb Z}\)
To wynika wprost z definicji Symbolu. Spróbuj teraz podstawić twoje q=p+4a i zauważyć pewne rzeczy
Dalej możesz pomyśleć sam :v
niecio1916
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 21 sty 2017, o 18:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków

Symbol Legendre'a

Post autor: niecio1916 »

Definicję też znam i umiem rozpisać. Ale co wynika potem z tego, że q=p+4a, nie potrafię zauważyć. Podstawić gdzie?
PoweredDragon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 817
Rejestracja: 19 lis 2016, o 23:48
Płeć: Mężczyzna
wiek: 21
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 115 razy

Symbol Legendre'a

Post autor: PoweredDragon »

Zdanie na samej górze zmień zamieniając każdy spójnik logiczny na alternatywę wyłączną. To twoje założenie. Bezproblemowo można pokazać, że gdy jest spełnione dla p, to jest i dla p+4a(choć jak teraz patrzę, to może się przydać symbol Jacobiego). Jak bd w domu, to na komputerze zaspoiluję ci dowodem. Tymczasem sam próbuj
ODPOWIEDZ