Liczby oparte o liczby pierwsze

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
bozydar8522
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15
Rejestracja: 10 lut 2012, o 13:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zamość
Pomógł: 1 raz

Liczby oparte o liczby pierwsze

Post autor: bozydar8522 »

Witam!

Ostatnio dowodząc kilka zadań z teorii liczb odkryłem, że jest pewna grupa liczb mimo współczynników wymiernych daje liczbę naturalną. Postawiłem tezę, że dla dowolnej liczby pierwszej \(\displaystyle{ p}\) i dla dowolnego \(\displaystyle{ n \in N}\) liczba postaci \(\displaystyle{ \frac{1}{p}*n ^{p} + (1- \frac{1}{p})*n \in N.}\) Dla kilku pierwszych przypadków sprawdziłem ręcznie i jest OK, ale dla przypadku ogólnego mam problem z rozbiciem sumy wynikającej z symbolu Newtona. Spotkał się ktoś z Was z tego typu liczbami? Mają one jakąś nazwę?
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Liczby oparte o liczby pierwsze

Post autor: Premislav »

Z małego twierdzenia Fermata wynika, że dla dowolnej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\) i dowolnej liczby pierwszej \(\displaystyle{ p}\) liczba \(\displaystyle{ p}\) dzieli \(\displaystyle{ n^p-n}\). Te "Twoje" liczby można zapisać w postaci
\(\displaystyle{ \frac{n^p-n}{p}+n}\). Z uwagi na powyższą podzielność jest to zawsze suma liczb naturalnych, a więc liczba naturalna. Nazwy nie znam, nie spotkałem się z czymś takim...-- 16 sty 2017, o 15:20 --A jeżeli nie znasz małego twierdzenia Fermata, to warto poznać, acz fakt, o którym wspomniałem można również udowodnić za pomocą indukcji po \(\displaystyle{ n}\) przy ustalonej liczbie pierwszej \(\displaystyle{ p}\). Ale wtedy jest więcej liczenia...
bozydar8522
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15
Rejestracja: 10 lut 2012, o 13:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zamość
Pomógł: 1 raz

Liczby oparte o liczby pierwsze

Post autor: bozydar8522 »

Dzięki wielkie za pomoc
ODPOWIEDZ