Pierścień Z/pZ a Zp

[mCichy13]

Cześć.

Czym różni się pierścień \(\displaystyle{ Z/pZ}\) od pierścieńia \(\displaystyle{ Z_{p}}\). Wiem że ten drugi jest 7 elementowy. Gdzie elemntami są reszty z dzielenia przez siedem. Czyli \(\displaystyle{ \left\{ 0,1...6 \right\}}\). Może ktoś przybliżyć czym jest \(\displaystyle{ Z/pZ}\).

[JakimPL]

Krótko: są to algebraicznie te same pierścienie, ale inaczej określone.

Przy okazji, \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_p}\) ma \(\displaystyle{ p}\) elementów, niekoniecznie siedem .

Formalnie \(\displaystyle{ \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}}\) to pierścień ilorazowy \(\displaystyle{ \mathbb{Z}}\) względem ideału \(\displaystyle{ I=(p)=\{kp\colon k\in\mathbb{Z}\}}\). Elementami tego pierścienia są warstwy \(\displaystyle{ n+(p)=\{n+kp\colon\in\mathbb{Z}\}}\), gdzie dodawanie jest określone tak jak w grupach ilorazowych, w naturalny sposób też definiuje się mnożenie:

\(\displaystyle{ [n+I] + [m+I] = (n+m)+I, \quad [n+I] \cdot [m+I] = (n\cdot m)+I}\)

gdzie \(\displaystyle{ n,m}\) są liczbami całkowitymi. Przy czym, jak wiadomo z algebry abstrakcyjnej, dwie warstwy \(\displaystyle{ n+I}\), \(\displaystyle{ m+I}\) są równe sobie, jeżeli różnica "reprezentantów" \(\displaystyle{ m-n\in I}\) należy do ideału. W tym konkretnym przypadku należenie do ideału \(\displaystyle{ I=(p)}\) oznacza, że \(\displaystyle{ m-n}\) jest wielokrotnością liczby \(\displaystyle{ p}\).

Pierścień \(\displaystyle{ \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}}\) posiada dokładnie \(\displaystyle{ p}\) różnych warstw, a więc jest to skończony pierścień; gdy \(\displaystyle{ p}\) jest liczbą pierwszą, to \(\displaystyle{ \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}}\) jest nawet ciałem.

Okazuje się, że oba pierścienie, \(\displaystyle{ \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}}\) oraz \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_p}\) są izomorficzne: z punktu widzenia algebraicznego nie różnią się od siebie. Jest to konsekwencja

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Twierdzenie_o_izomorfizmie

: możemy w naturalny sposób utworzyć homomorfizm pierścieni \(\displaystyle{ \varphi\colon \mathbb{Z}\to\mathbb{Z}_p}\) jako \(\displaystyle{ \varphi(n)=n\mod p}\), czyli przyporządkowujący każdej liczbie całkowitej resztę z dzielenia przez \(\displaystyle{ p}\). Wówczas na mocy twierdzenia o izomorfizmie

\(\displaystyle{ \mathbb{Z}_p\cong \mathbb{Z}/\ker \varphi}\)

gdzie \(\displaystyle{ \cong}\) oznacza izomorfizm, a \(\displaystyle{ \ker\varphi = \{n\in\mathbb{Z}\colon \varphi(n)=0\}}\) jądro odwzorowania. W naszym przypadku jądrem \(\displaystyle{ \varphi}\) jest dokładnie ideał \(\displaystyle{ (p)}\), co oznacza, że pierścienie \(\displaystyle{ \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}}\) oraz \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_p}\) są izomorficzne.

[mCichy13]

Krótko: są to algebraicznie te same pierścienie, ale inaczej określone.

Przy okazji, \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_p}\) ma \(\displaystyle{ p}\) elementów, niekoniecznie siedem .

Zgadza się. Miałem w głowie konkretny przykład Dziękuje za powyższe wyjaśnienie.