Dowód twierdzenia dotyczącego podzielności

[Totalny Amator]

Prosiłbym o sprawdzenie czy poniższy dowód jest poprawny:

\(\displaystyle{ 5|p^2 \Rightarrow 5|p}\), gdzie \(\displaystyle{ p=\left\{p \in N:p>1 \right\}}\)

Więc żeby implikacja była prawdziwa, następnik musi być prawdziwy.
Jeśli \(\displaystyle{ 5|p}\), to \(\displaystyle{ p}\) możemy rozłożyć na czynniki pierwsze i zapisać w postaci:

\(\displaystyle{ p=a _{1} \cdot a _{2} \cdot...\cdot a_{k}}\)

Jeśli \(\displaystyle{ 5}\) oraz każdy wyraz \(\displaystyle{ a_{i}}\) jest liczbą pierwszą, przynajmniej jeden z wyrazów \(\displaystyle{ a}\) musi być równy \(\displaystyle{ 5}\), żeby warunek \(\displaystyle{ 5|p}\) był prawdziwy.

W przeciwnym wypadku \(\displaystyle{ (p,a)=1}\) dla każdego \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ p}\) więc \(\displaystyle{ p \nmid 5}\).

Jeśli którykolwiek z wyrazów \(\displaystyle{ a=5}\) to \(\displaystyle{ 5|p^2}\) a co za tym idzie \(\displaystyle{ 5|p}\), co należało wykazać.

[Premislav]

Zapis \(\displaystyle{ p=\left\{p \in N:p>1 \right\}}\) jest całkowicie niepoprawny. Napisałeś tutaj, że \(\displaystyle{ p}\) jest zbiorem, to co, potem orzekasz o podzielności zbioru przez \(\displaystyle{ 5}\)?

Ogólnie dowód jest do niczego, nawet nie widzę w nim żadnej właściwej myśli (chyba że czegoś nie zrozumiałem). Nie chcę się znęcać i drwić linijka po linijce, więc dam wskazówkę do innego podejścia:
jeśli \(\displaystyle{ 5}\) dzieli \(\displaystyle{ p^2}\) dla pewnego \(\displaystyle{ p \in \NN}\), to
\(\displaystyle{ 5}\) występuje z dodatnim wykładnikiem w rozkładzie \(\displaystyle{ p^2}\) na czynniki pierwsze.
Zauważ następnie, że w rozkładzie \(\displaystyle{ p^2}\) na czynniki pierwsze wszystkie wykładniki są liczbami parzystymi.

[Totalny Amator]

No faktycznie ten zapis to fatalna pomyłka, naprawdę nie to miałem na myśli. Zamierzałem tam dać należy zamiast jest równe, co też by mogłoby być nie do końca jak powinno jak podejrzewam.

No więc skoro wiadomo że dla rozkładu \(\displaystyle{ p^2}\) na czynniki pierwsze \(\displaystyle{ 5}\) ma wykładnik większy od zera, oraz wszystkie wykładniki są parzyste to:

\(\displaystyle{ p^2=5 ^{2n}\cdot b^2}\) , gdzie \(\displaystyle{ b}\) to iloczyn pozostałych czynników rozkładu oraz \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}}\)

\(\displaystyle{ 5 ^{2n}\cdot b^2=5l}\) gdzie \(\displaystyle{ l \in Z}\)

\(\displaystyle{ 5 ^{2n-1}\cdot b^2=l}\) więc \(\displaystyle{ 5|p^2}\)

pierwiastkując \(\displaystyle{ p^2}\) mamy:

\(\displaystyle{ p=\sqrt{(5 ^{n})^2\cdot b^2}}\)

\(\displaystyle{ 5 ^{n}\cdot b=5m}\)

\(\displaystyle{ 5 ^{n-1}\cdot b=m}\) więc \(\displaystyle{ 5|p}\)

Czy tak będzie lepiej ?

[Premislav]

Zamierzałem tam dać należy zamiast jest równe, co też by mogłoby być nie do końca jak powinno jak podejrzewam.

Akurat wtedy byłoby OK.


Tak będzie zdecydowanie lepiej.

\(\displaystyle{ 5 ^{2n}\cdot b^2=5l gdzie l \in Z}\)

\(\displaystyle{ 5 ^{2n-1}\cdot b^2=l}\) więc \(\displaystyle{ 5|p^2}\)

żeby to stwierdzić, nie trzeba było wykonywać żadnego dzielenia, ale poza tym nie mam większych zastrzeżeń.
A spotkałeś się ogólnie z jakimiś stwierdzeniami o rozkładzie na czynniki pierwsze? Czy rozumiesz, dlaczego w rozkładzie kwadratu liczby całkowitej na czynniki pierwsze wszystkie wykładniki są parzyste?

EDIT: "lepiej", a nie żadne "klepiej", dziękuję Panu Kraszewskiemu za zauważenie tej literówki.

[Totalny Amator]

No więc jeśli rozłożymy na czynniki pierwsze dowolną liczbę \(\displaystyle{ p \in N}\), to każdy czynnik możemy przedstawić w postaci \(\displaystyle{ a^n}\) w zależności ile razy w rozkładzie występuje. Teraz podnosząc rozkład \(\displaystyle{ p}\) do kwadratu, otrzymujemy:
\(\displaystyle{ a _{1} ^{k^{2}} \cdot a _{2} ^{l^{2}} \cdot ... \cdot a _{n} ^{m^{2}}}\) co daje

\(\displaystyle{ a _{1} ^{2k} \cdot a _{2} ^{2l} \cdot ... \cdot a _{n} ^{2m}}\) gdzie\(\displaystyle{ k,l,m \in N}\)

\(\displaystyle{ 2k, 2l, 2m}\) to z definicji liczba parzysta.

Nie jestem dobry w te klocki, a przygodę z teorią liczb dopiero zaczynam. Dzięki za radę, nie wgniecenie mnie w ziemię i oszczędzenie upokorzenia przez przemilczenie moich wcześniejszych wypocin