tw Eulera

[matematyka0]

1.oblicz z tw Eulera element odwrotny do :
14 w grupie \(\displaystyle{ U(\mathbb{Z}_{45})}\)
11 w grupie \(\displaystyle{ U(\mathbb{Z}_{24})}\)
37 w grupie \(\displaystyle{ U(\mathbb{Z}_{53})}\)

2.znajdz cyfre jedności liczb \(\displaystyle{ 777^{777}, 2^{9^{100}}}\) oraz dwie ostatnie cyfry liczb: \(\displaystyle{ 123^{123!},9^{9^9}}\) (przynajmniej po jednym przykładzie prosze rozwiązac krok po kroku, żebym wiedziała jak inne rozwiązać )

[squared]

Znalezienie ostatniej cyfry to znalezienie tej liczby modulo \(\displaystyle{ 10}\) np.
\(\displaystyle{ 9^{9^9} \mod 10}\)
\(\displaystyle{ \nwd (9,10)=1 \rightarrow 9^{\varphi({10})}= 1 \mod 10 \rightarrow 9^4 = 1 \mod 10}\).

W szczególności:
\(\displaystyle{ 9^{4k} = 1 \mod 10}\)

Zatem rozbijmy \(\displaystyle{ 9^9=4k_1+r}\). A to sprowadza się do sprawdzenia:
\(\displaystyle{ 9^9 \mod 4}\)

Wiemy, że:
\(\displaystyle{ 9 = 1 \mod 4 \\
9^9 = 1^9=1 \mod 4}\)

Zatem: \(\displaystyle{ 9^{9^9} = 9^{4k_1+1} = 9^{4k_1}\cdot 9 = 9 \mod 10}\)

Jeśli weźmiemy daną liczbę \(\displaystyle{ \mod 100}\) otrzymamy dwie ostatnie cyfry liczby. Rozumowanie analogiczne.

[matematyka0]

w tym przypadku zamiast 4 bedzie 40 gdy chcemy dwie cyfry?

[PoweredDragon]

w tym przypadku zamiast 4 bedzie 40 gdy chcemy dwie cyfry?

\(\displaystyle{ \phi(100) = \phi(4)\phi(25) = 2 \cdot 20 = 40}\), ale w rzeczywistości wystarcza \(\displaystyle{ 20}\)(ale ty robisz z tw. Eulera, więc tak; 40)