Wyznaczyć wszystkie liczby pierwsze p

[Ruahyin]

Wyznacz wszystkie liczby pierwsze \(\displaystyle{ p}\) dla których \(\displaystyle{ 2 ^{p}+3 ^{p}}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ 11}\).

[dec1]

[PoweredDragon]

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ 2 \equiv_{11}2}\)
\(\displaystyle{ 2^2 \equiv_{11}4}\)
\(\displaystyle{ 2^3 \equiv_{11}8}\)
\(\displaystyle{ 2^4 \equiv_{11}5}\)
\(\displaystyle{ 2^5 \equiv_{11}10}\)
\(\displaystyle{ 2^6 \equiv_{11}9}\)
\(\displaystyle{ 2^7 \equiv_{11}7}\)
\(\displaystyle{ 2^8 \equiv_{11} 3}\)
\(\displaystyle{ 2^9 \equiv_{11}6}\)
\(\displaystyle{ 2^{10} \equiv_{11}1}\)

\(\displaystyle{ 3 \equiv_{11}3}\)
\(\displaystyle{ 3^2 \equiv_{11}9}\)
\(\displaystyle{ 3^3 \equiv_{11}5}\)
\(\displaystyle{ 3^4 \equiv_{11}4}\)
\(\displaystyle{ 3^5 \equiv_{11}1}\)

Podsumowanie tego ukrytego:
\(\displaystyle{ 3^{5k+x} \equiv_{11} 3^x}\)
\(\displaystyle{ 2^{10k+x} \equiv_{11} 2^x}\)

Możliwe relacje:
\(\displaystyle{ 11 = 1+10}\)
\(\displaystyle{ 3^{5} \equiv_{11} 1 \wedge 2^{5} \equiv_{11} 10 \Rightarrow 2^5+3^5 = 11n}\)
\(\displaystyle{ 11 = 2+9}\)
Dla \(\displaystyle{ 3}\) wykładnik musi być równy \(\displaystyle{ 5k+2}\), zaś dla \(\displaystyle{ 2}\) wykładnik musi być równy \(\displaystyle{ 10m+1}\)
\(\displaystyle{ 5k +2 = 10m + 1}\)
\(\displaystyle{ 10m = 5k + 1}\)
Co jest niemożliwe, bo oznaczałoby, że liczba podzielna przez 10 daje przy dzieleniu przez 5 resztę

\(\displaystyle{ 11 = 3+8}\)
\(\displaystyle{ 3}\) musi mieć wykładnik postaci \(\displaystyle{ 5k+1}\), a \(\displaystyle{ 2}\) musi mieć wykładnik postaci \(\displaystyle{ 10m+3}\) Wynik będzie prosty, bo dojdzie do sprzeczności jak wyżej (liczba podzielna przez \(\displaystyle{ 5}\) daje przy dzieleniu przez \(\displaystyle{ 10}\) resztę \(\displaystyle{ 2}\), co jest niemożliwe)

\(\displaystyle{ 11 = 4+7}\)
\(\displaystyle{ 2}\) musi mieć wykładnik \(\displaystyle{ 10k+7}\), a \(\displaystyle{ 3}\) musi mieć wykładnik postaci \(\displaystyle{ 5m + 4}\)
\(\displaystyle{ 10k+7 = 5m + 4}\)
\(\displaystyle{ 10k+3 = 5m}\) -> Sprzeczność

\(\displaystyle{ 11 = 5+6}\)
Dla \(\displaystyle{ 2}\) mamy \(\displaystyle{ 10k+9}\), a dla \(\displaystyle{ 3}\) mamy \(\displaystyle{ 5m+3}\)
\(\displaystyle{ 10k+9 = 5m+3}\)
\(\displaystyle{ 5m = 10k+6}\)
I znowu mamy sprzeczność

Jedyną liczbą spełniającą warunki zadanie jest więc \(\displaystyle{ p = 5}\)

[Ruahyin]

PoweredDragon, nie bardzo rozumiem jak wyznaczales wykładniki. Czy możesz to wytłumaczyć??

[PoweredDragon]

W ukryciu masz wszystkie reszty z dzielenia kolejnych potęg liczb \(\displaystyle{ 2}\) i \(\displaystyle{ 3}\) przez \(\displaystyle{ 11}\). Dla dwójki, powtarza się to co dziesięć, a dla trójki powtarza się co \(\displaystyle{ 5}\), więc skoro widzę, że mam mieć \(\displaystyle{ 9 + 2}\), to patrzę, i widzę, że resztę \(\displaystyle{ 9}\) może dać zarówno \(\displaystyle{ 2}\) jak i \(\displaystyle{ 3}\), ale reszty \(\displaystyle{ 2}\) już z trójki nie dostanę, więc 3 musi dawać resztę \(\displaystyle{ 9}\) (a taką resztę dają \(\displaystyle{ 3^2, 3^7, 3^{12}}\), itd.), a \(\displaystyle{ 2^p}\) musi dawać resztę \(\displaystyle{ 2}\) (\(\displaystyle{ 2^1, 2^{11}, 2^{21}}\), itd.). Podstawiam do równania (dla trójki mam \(\displaystyle{ p = 5k+2}\), dla dwójki mam \(\displaystyle{ p = 10m+1}\)
5k+2 = 10m+1 i już widzę, że nie ma takich liczb całkowitych, które by spełniały to równanie.


To samo dla \(\displaystyle{ 8+3}\);

Resztę \(\displaystyle{ 3}\) może dać mi zarówno \(\displaystyle{ 3}\) jak i \(\displaystyle{ 2}\), resztę \(\displaystyle{ 8}\) może dać tylko 2, więc \(\displaystyle{ 2^p \equiv_{11} 8 \wedge 3^p \equiv_{11} 3}\)

Więc widzę, że dla dwójki \(\displaystyle{ p = 10k+3}\), a dla trójki \(\displaystyle{ p = 5k + 1}\). Znowu mi wychodzi sprzeczność, bo \(\displaystyle{ 10k+3 = 5k+1}\) nie ma rozw. w liczbach całkowitych. To samo robię z pozostałymi przypadkami.