Udowodnić, że istnieje taka liczba naturalna \(\displaystyle{ n}\), że liczba
\(\displaystyle{ \underbrace{999...999}_{n}}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ \underbrace{999...999}_{ n_{1} }\cdot \underbrace{999...999}_{ n_{2} }\cdot \underbrace{999...999}_{ n_{3} }\cdot ...\cdot \underbrace{999...999}_{ n_{k} }}\)
dla dowolnych naturalnych \(\displaystyle{ n_{1},n_{2},n_{3},...,n_{k}}\)
Ma ktoś jakiś pomysł ? Bo męczę się już jakiś czas i niewiele poszedłem naprzód
Podzielność liczby 9999...
-
- Użytkownik
- Posty: 32
- Rejestracja: 18 sie 2016, o 17:29
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Podzielność liczby 9999...
Myślę, że teza jest źle postawiona. Jak przypuszczam, chodzi o to, że dla każdego \(\displaystyle{ k \in \NN}\) i dla dowolnych naturalnych \(\displaystyle{ n_1, n_2, \dots n_k}\) istnieje taka liczba naturalna \(\displaystyle{ n}\), że liczba
\(\displaystyle{ \underbrace{999...999}_{n}}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ \underbrace{999...999}_{ n_{1} }\cdot \underbrace{999...999}_{ n_{2} }\cdot \underbrace{999...999}_{ n_{3} }\cdot ...\cdot \underbrace{999...999}_{ n_{k} }}\).
W obecnej formie teza jest w sposób oczywisty fałszywa, jeśli ustalimy jakiekolwiek \(\displaystyle{ n \in \NN}\), to wystarczy, że \(\displaystyle{ n_1, \dots n_k}\) będą takie, że wartość tego iloczynu przekroczy \(\displaystyle{ \underbrace{999...999}_{n}}\) i już się popsuje.
\(\displaystyle{ \underbrace{999...999}_{n}}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ \underbrace{999...999}_{ n_{1} }\cdot \underbrace{999...999}_{ n_{2} }\cdot \underbrace{999...999}_{ n_{3} }\cdot ...\cdot \underbrace{999...999}_{ n_{k} }}\).
W obecnej formie teza jest w sposób oczywisty fałszywa, jeśli ustalimy jakiekolwiek \(\displaystyle{ n \in \NN}\), to wystarczy, że \(\displaystyle{ n_1, \dots n_k}\) będą takie, że wartość tego iloczynu przekroczy \(\displaystyle{ \underbrace{999...999}_{n}}\) i już się popsuje.
-
- Użytkownik
- Posty: 32
- Rejestracja: 18 sie 2016, o 17:29
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
Podzielność liczby 9999...
Chodziło mi o to, że np. dla \(\displaystyle{ n_{1}=2, n_{2}=3, n_{3}=3}\) istnieje taka liczba naturalna \(\displaystyle{ n}\), że \(\displaystyle{ 99 \cdot 999 \cdot 999}\) dzieli \(\displaystyle{ \underbrace{999...999}_{n}}\)
Oczywiście \(\displaystyle{ n_1, \dots n_k}\) mogą być dobrane dowolnie dla dowolnego \(\displaystyle{ k}\) naturalnego.
Oczywiście \(\displaystyle{ n_1, \dots n_k}\) mogą być dobrane dowolnie dla dowolnego \(\displaystyle{ k}\) naturalnego.
- JakimPL
- Użytkownik
- Posty: 2401
- Rejestracja: 25 mar 2010, o 12:15
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 43 razy
- Pomógł: 459 razy
Podzielność liczby 9999...
Mamy: \(\displaystyle{ \underbrace{999...999}_{n} = 10^n-1}\)
podobnie
\(\displaystyle{ \underbrace{999...999}_{ n_{1} }\cdot \ldots\cdot \underbrace{999...999}_{ n_{k} }= (10^{n_1}-1)\cdot\ldots\cdot (10^{n_k}-1)}\)
Jeżeli \(\displaystyle{ 10^n-1}\) ma dzielić się przez powyższy iloczyn, zajdzie kongruencja
\(\displaystyle{ 10^n-1\equiv 0 \pmod{(10^{n_1}-1)\cdot\ldots\cdot (10^{n_k}-1)}}\)
Zapiszmy to w innej postaci i zauważmy, że \(\displaystyle{ 10}\) jest względnie pierwsze z iloczynem \(\displaystyle{ 10^{n_i}-1}\):
\(\displaystyle{ 10^n\equiv 1 \pmod{(10^{n_1}-1)\cdot\ldots\cdot (10^{n_k}-1)}}\)
Czy widać, co można zrobić?
podobnie
\(\displaystyle{ \underbrace{999...999}_{ n_{1} }\cdot \ldots\cdot \underbrace{999...999}_{ n_{k} }= (10^{n_1}-1)\cdot\ldots\cdot (10^{n_k}-1)}\)
Jeżeli \(\displaystyle{ 10^n-1}\) ma dzielić się przez powyższy iloczyn, zajdzie kongruencja
\(\displaystyle{ 10^n-1\equiv 0 \pmod{(10^{n_1}-1)\cdot\ldots\cdot (10^{n_k}-1)}}\)
Zapiszmy to w innej postaci i zauważmy, że \(\displaystyle{ 10}\) jest względnie pierwsze z iloczynem \(\displaystyle{ 10^{n_i}-1}\):
\(\displaystyle{ 10^n\equiv 1 \pmod{(10^{n_1}-1)\cdot\ldots\cdot (10^{n_k}-1)}}\)
Czy widać, co można zrobić?